数理化自学丛书 平面几何 第一册 ==========第1页========== 数理化自学丛书 平面几·何 第一册 数理化自学丛书编委会数学编写小组编 s6/9 上色税房苹秀社 ==========第2页========== 数理化自学丛书平面几何（第一册）数理化自学丛书编委会数学编写小组编上海科学技术出版社出版 (上薄孩金二路450号)北京出版社重印北京市新华书店发行北京印刷二厂印刷开*787×10921/82印张10字数220,000198《年2月第1版1979年1月第1次印叫， 书号，13119181 定价：0.62元 ==========第3页========== 内容提要 本书系统地讲述了平面几何中的直线、角、平行线、三角形、 四边形、四等部分。为了适合自学，讲解中特别注意联系实际和结合图形。叙述通俗，分析详细。书中配有大量例题和习题，供读者进一步理解内容和练习。题前有“*”号的题目要摊一些， 一时解不出可慢一些做。 本书可供青年工人、知识青年、.在职于部自学，也可供中等学校青年数师参考。 江之之 ==========第4页========== 重印说明 《数理化自学丛书》是一九六六年前出版的.计有《代数》 四册，《平面几何》二册，《三角》一册，《立体几何》一册，《平面解析几何》一册(《物理》四册；《化学》四册.这套书的特点是：比较明白易懂，从讲请基本概念出发，循序前进，使读者易于接受和理解，并附有不少习题供练习用.·这套书可以作为青年工人、知识青年和在职干部自学之用，也可供中等学校青年教师教学参考，出版以后，很受读者欢迎。但是在“四人帮”及其余党控制上海出版工作期间，这套书横被扣上所谓引导青年走白专道路的罪名，不准出版. 英明领袖华主席和党中央一举粉碎了祸国殃民的“四人帮”.我国社会主义革命和社会主义建设进入新的发展时期，党的第十一次全国代表大会号召全党、全军、全国各族人民高举毛主席的伟大旗帜，在英明领袖华主席和党中央领导下，为完成党的十一大提出的各项成斗任务，为在本世纪内把我国建设成为伟大的社会主义的现代化强国，.争取对人类作出较大的贡献，努力奋斗.许多工农群众和千部，在党的十一大精神鼓舞下，决心紧跟英明领袖华主席和党中央，抓纲治国，大干快上，向科学技术现代化进军，为实现四个现代化作出贡献，他们来信要求重印<数理化自学丛书》.根据读者的要求，我们现在在原书基础上作一些必要的修改后，重新出版这套书，以应需要 十多年来，科学技术的发展是很快的.本丛书介绍的虽仅是数理化方面的基础知识，但对于应予反映的科技新成就方面内容，是显得不够的.同时，由于本书是按读者自学的要求编写的，篇幅上就不免有些庞大，有些部分也显得有些烦琐。这些，要请读者在阅读时加以注意. 对本书的缺点，希望广大读者批评指出，以便修订时参考 一九七八年一月 4117 ==========第5页========== 目 录 量印说明 等腰三角形……89 绪论……1 §24轴对称图形4…89§25等腰三角形的性质…91 第一章直线、角、平行线…8 §26等腰三角形性质在作 直线、圆和圆弧…8 图上的应用…98 911直线、射线和线段…8 §2·7等腰三角形的判定…102 §1·2线段的相等和不等…11 全等三角形……109 §13线段的度量和画法…12 §28全等形…109 及14圆和圆弧…18 §2.9三角形全等的判定…110 角和垂线………21 8210直角三角形全等的判 §15角，平角和周角…21 定…125 §1.6角的相等和不等…24 §2,11三角形作图…130 §17·角的度量和画法…25 三角形的边角关系…138 18垂线……36 §2.12在同-个三角形内 319余角、补角、对顶角…41 的边角关系…138 平行线…47 §213两对边对应相等的 S110平行线……47 两个三角形的边角 §111平行线的判定和画法…50 关系i…142 §1.12平行线的性质60 基本轨迹…146 §113两组对应边平行的角…69 §214线段的垂直平分线 本章提要……72 的性质………146 复习题一…73 §215角的平分线的性质…149 第二章三角形……77 §2.16点的轨迹…152 三角形和它的内角和…77 本章提要……156 §2.1三角形和它的元裳…77 复习题二……158 822三角形的内角和…81第三章四边形…162§23三角形的主要线段…87 多边形和它的内角和…162 ==========第6页========== 831多边形…162 关系……221 §3.2多边形的内角和…165 §44圆心角、圆周角、圆内 平行四边形…168 角和圆外角的度量…227 §33平行四边形和它的性 §45圆内接四边形的性质…236 质…168 直线和圆的位置关系…243 §3.4平行四边形的判定…174 §46直线和圆的相互位置…243 §3.5中心对称图形…178 §4·7切线的判定、性质和 §3.6矩形、菱形、正方形…182 画法…245 §3.7平行线等分线段定理184 §48三角形的内切國、内 §3·8关于平行线的点的轨 心和旁心…253 迹…187 §49圆外切四边形的性质…258 §39三角形的中位线的性 §4·10弦切角的度量定理…259 质…192 圆和圆的位置关系…262 53.10三角形的重心…195 §4·11两个圆的相互位置…262 梯形…198 $4.12两圆公弦的性质…266 §311梯形和等腰梯形…198 §4·13相切两圆的连心线 §312梯形的中位线的性 的性质……267 质…205 §414两圆的公切线…273 本章提要207 §4·15直线和弧、弧和弧的 复习题三………209 吻接…275 第四章圆…213 弧和角的关系…281 圆的基本性质…213 5416在已知线段上作含 $4·1不在一直线上的三点 有已知圆周角的弧…281 确定一个圆……213 §417基本轨迹…283 ……289 §4·2垂直于弦的直径的性本章提要 质…219 复习题四…290 §43在同圆(（或等國)中， 总复习题……295 弦、弧、弦心距之间的 习题答案…305 ==========第7页========== 绪论 1.几何学研究的对象我们已经学习过算术和代数的初步知识，这两门课都是研究数的运算性质的，现在我们要开始学习数学的另一门学科：“几何学”，它研究物体的形状、大小和相互位置关系. 在日常生活里，我们经常要观察周围的各种物体.我们是怎样去观察的呢？经验告诉我们，首先看到的是各种物体的外形和颜色，其次是物体的重量和组成它们的元素等等.但是在区别各种物体的时候，最容易识别的还是物体的形状和大小.人类为了满足生活上的需要，在制造一些器具时，常常考虑它们的形状和大小要适合实际应用. 例如床的形状就需要是长方形的，它的大小要能够容纳人体的长度；汽车的车轮是圆形的，目的是使它在地面上容易滚动，并且在滚动时保持车身的平稳（图1）. 床 汽车 图1 我们在观察事物的过程中，·还可以看到这个物体和那个物体之间的位置关系，这些位置不是随便放的，这就需要我们 ==========第8页========== 来研究怎样放才是适当的. 例如图2中车间里正确地安装机器，田野里装置排灌设备等等，都需要一番研究才行. 图2 几何学研究的对象就是物体的形状、大小和相互的位置关系。 2.几何学的发展简史几何学的产生和别的学科一样，也是由于人类生产和生活的需要.在原始社会里，人们已经积累子许多物体形状和大小，以及它们的分布位置关系的知识.例如古代的人们为了记住他们居住和打猎的地方，就逐 6 渐地学会怎样来判定各个地方之间的距离，怎样来测量各个地区的大小。 随着人类社会的发展，对于物体的形状、大小和相互位置关系的知识，要求愈来愈高，就这样经过劳动人民长期的生产和生活实践，积累了许多几何知识，并不断地丰富起来，形成了人类知识的一个部门. 谈起几何学的发展历史，就会联想到古埃及尼罗河的故 2 ==========第9页========== 事.相传4000多年前，尼罗河每年洪水泛滥把两岸的土地淹没，水退后河床常有变易，致使土地界线不明。当时埃及的劳动人民为了明确自已耕地的界线，用步伐测出土地的周界，并计算它们面积的大小，画出耕地的图形，作为划分土地的依据、由于经常的测量和画图，不断地积累和提高的结果，归纳出不少的图形知识，就这样产生了初步的几何学 后来希腊人到埃及去经商，学到了测量和绘图的知识，再逐步加以补充，使这些初步的几何知识充实成为一门完整的儿何学.“儿何学”这个名词，希腊文原来的意义是“测量土地的技术”，一直沿用到今天. 公元前338年，希腊人欧儿里得在亚力山得里亚大学教课，他把埃及和希腊的儿何学知识，作了系统的总结和整理，写成一本“几何原本”.这本书对于几何学的发展，曾起了很大的作用，直到现在，中学几何课本还是根据它来编写的、我国的祖先对于几何学很早就有研究，同埃及和希腊人 一样作出了光辉的成绩、在我国黑陶文化时期（约公元前一千年)，陶器上的花纹就有菱形、正方形和圆内接正方形等等的图样（图3）. 在墨翟（约公元前500年）所著的“墨经”里，提出了关于 5 图3 ==========第10页========== 几何图形的一些知识.在古算书“九章算术”里，载有土地面积和物体的体积计算方法.在另一本古算书“周髀算经”里，叙述了关于直角三角形的边长的比为3：4：5，这个例子说明直角三角形斜边上所作的正方形面积等于两直角边上所作正方形面积的和（图4）. 8 图4 可以查考的例子还很多，这里不多举了， 3.组成几何图形的元来如果我们只注意一个物体的形状和大小，不管它的其他性质时，这样的一个物体也叫做几何体.例如图5中一根圆形的木料和一只圆形的铅桶，尽管它们的颜色、重量和其他性质都不相同，但是只注意它们外表的形状，却都是一个圆柱形的几何体。 4● ==========第11页========== 配形木料 铅桶 图5 又如图6中一个皮球和一个和它同样大小的木球，虽然它们的其他性质都不相同，但却是两个完全相等的球体。 皮球 木球 图6 我们知道，任何物体都占有一部分空间，都用它的表面和它的周围分开的，因此我们说面是体的界限。例如物体和它邻接的空气分开的地方就是这个物体的表面.我们可以放弃物体的本身，单独来想象它的表面，这样就把几何里的面看成是没有厚度的了.我们用一只玻璃杯装着水和油（图7），因 油 芬界面 为油比水轻都浮在水的上面，可以清楚地看出水和油分界的地方，就是它们共同的表面。很明显，这样的面是没有厚度的. 图·7 如果我们想象两个面相交的部分，就会得到几何里的线，实际上我们所看到的线都是两个面的公共部分，因此，我们 5· ==========第12页========== 说线是面的界限.例如图8中火柴盒的棱就是相邻两个面的相交线。一张白纸上泼了一滴墨水，这两种颜色的分界也是 一条线. 点 图8 从这些例子可以看到线是没有厚度，也没有宽度的，如果我们想象两条线相交的地方，就会得到点的形象.实际上点就是两条线的公共部分，因此，我们说点是线的界限、例如图9中的两条线的公共部分都是点， 9 可以看到点是没有厚薄、宽窄和长短的，它只占有一个位置，例如地图上就是用点来确定城市的位置的. 我们所说的点、线、面都不能单独存在，而只能是依附于物体的。但是在几何里为了研究它们的性质，常常把它们分开来研究，这并不是认为点、线、面是互不相关的， 点、线、面是组成儿何图形的元素，因此点、线、面以及它们的集合，都称为几何图形 可以全部放在一个平面内的图形，又叫做平面图形.这 6 1.1 ==========第13页========== 些平面图形我们在小学算术里已经看到不少，例如图10中的一些 图10 平面几何学就是研究平面图形的性质、作法和计算等问题. 习 知 1.试举一实例来说明物体与几何体的区别，2。一只火柴盒有几个面？几条棱？几个顶点？ ==========第14页========== 第一章直线、角、平行线 直线、圆和圆弧 §11直线、射线和线段 木工锯木板时所画的墨线，穿过小孔射出来的光线，双手 ，拉紧的细绳，这些都给我们直线的形象.我们把直线看作是 可以向两方无限伸长的。直线常用两个大写字母来表示，例 如，“直线AB”或者“直线BA”(图1·1(1))；或者用一个小写 字母来表示，例如，“直线a”(图1·1(2). B (1) (2) 图11 画直线可以用直尺.我们在纸上画两点，经过这两点用直尺可以画一条直线。术工锯木板，也是先在木料上定出两点，然后用墨斗沿着这两点弹出直线 我们知道，经过一点可以画无数条直线，但是经过两点随便你画多少次，只能画出一条直线.从这些事实可以得知下述的直线的性质： 经过两点可以画一条直线，并且只可以画一条直线应用这个性质，可以检查尺的边是不是平直.方法是：先选定两点，让尺的边缘紧靠这两点，经过这两点画一条线，再把尺调转过来，放在所画的线的另一侧，经过这两点再画一条 8 ==========第15页========== 线，如果两次画出的线是重合的，就可以确定尺的边是直的(图12(1)，否则就不直（图1·2(2）). (1) (2) 图1.2 事实上，用直尺只能画出直线的一部分，移动直尺后可以把这、一部分向两方无限地画出来， 探照灯、手电简的光线，是由一点出发向一定方向射出的，这些都给我们射线的形象.在直线上某一点一旁的部分叫做射线，这一点叫做射线的点，这个端点也叫做原点，射线用表示它的端点和射线上任意一点所注的两个大写字母来表 示，并把表示端点的字母写在前面，例如“射线OC”(图1·3)。 0 图13 黑板和书本的边缘，都有两个端点，因此，可看作是直线在两点间的一部分，我们把直线上任意两点间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点. 线段通常用表示它们两个端点的大写字母来表示，例如， “线段DE”或者“线段ED”(图1·4(1)；或者用一个小写字 母来表示，例如“线段b”(图1·4(2). D b (1) (2) 图14 注意直线、射线和线段它们有什么区别呢？区别就在于线段有两个端点，射线只有一个端点，而直线没有端点。我们用很短的细实线来表示端点（如图13和1·4）. 9 ==========第16页========== 我们通过画图容易知道，两点只能连接一条线段，而且这条线段是这两点间的最短的线，因此我们可以说：两点间的线段的长，叫做这两点间的距离， 我们利用直尺可以把一条线段向任何一方延长.例如， 我们可以经过点B把线段AB延长（图1·5(1）)，也可以经过 点A把线段AB向BA方向延长（图15（②）).在图中，它们 的延长部分用虚线表示. (1) (2) 图1.5 在图1·5(1)里，我们说延长AB,不能说成延长BA；但 在图1·5(2)里，只能说延长BA,线段的延长部分（虚线）叫 做延长线， 现在我们来看下面的问题： 问题1，在图16中的直线和线段能相交吗？ 1) (2) 图1.6 问题2.在图17中的射线和线段能相交吗？ (2) 17 业10·、 ==========第17页========== 问题3.在图18中的射线和直线能相交吗？ (1) (2) 图18 注意要回答上面的问题，先要复习前面学过的直线、射线和线段，然后再仔细观察所画出的图形中，哪些是还可以继续画下去的，哪些是不可继续画下去的（不是画它们的延长线），用一张纸在它的上面画，这样问题就容易回答了. 习题11 1.裁衣服常用线袋在布上弹直线，布上就留下直线的痕迹，这是什么道理？ 2.要在墙上钉一根横木条，至少要钉几只钉？为什么？ 3.通过纸上的一点A,能画出几条直线？怎样画？通过A和B两 点呢？为什么？ 4.在纸上画出4点（要任意三点不在一条直线上），用直尺过每两点画一条直线，一共可画几条？ 5,用双手同时拿着两根绳子的两头，拉紧后这两根绳子一定紧紧地合在一起，为什么？ §1·2线段的相等和不等 比较两条线段的长短，总是把其中的一条线段移到另一条线段上去比较的.我们把移动一个图形简称移形.几何图形具有这样一个性质：移形是不会改变它的形状和大小的. 现在我们来比较线段PQ和RS的长，先把PQ放到RS 上，使点P和点R合起来，并且使线段PQ沿着线段RS落下 ·11 ==========第18页========== 去.如果点Q和点S是合在一起的，那末线段PQ和线段S 相等（图19）.这时可写成： PQ=RS或者RS=PQ. P 图1.9 如果点Q落在R,S这两点之间，线段PQ就比较短（图 110).这时可写成： PQPQ. 、极 图1.10 如果点Q落在RS的延长线上，线段PQ就比较长（图 1·11).这时可写成： PQ>RS或者·RSm. 图1.17 从上图可以看出，线段PQ+m=Z,如果PQ和m的顺序交换一下，就有m+PQ=l,所以在画图的时候，如果从线段1的左端起截取线段，结果也是一样的。 。14 ==========第21页========== 我们用分割规和直尺还可以把线段等分·方法是先量一量这条线段的长度，用除法计算出它的每一等分的长度（有时除不尽，取它的近似值)，再利用分割规按每分的长度作出所要求的各等分线段（图118）. 这样作图有时会有误差， 如图119，第5分点与点B相 差线段α，就应该使两个针尖间的距离缩短（图119(1）)或者 加长（图119(2②）言0. 图118 (1 (2) 图1.19 如果把一条线段二等分，这个分点也就是这条线段的中点， 例1，在射线AM上截取一线段，使它等于已知线段a的5倍（图1·20）. ·15· ==========第22页========== A4方。9)心金 a 图1.20 ◆ 【解】先画出已知线段a,再画出射线AM.用分割规自 A点起顺次截取AB=BC=CD=DE=EF=a,所以 AF-AB+BC+CD+DE+EF=5a. ·例2.已知线段a,b(a>b),用分割规和直尺画出线段x,y,使x=a+2b;y=3a-2b.（图1.21) -2b 34 B === 2、 图121 【解】先画出已知线段a和b,且>b.再画出射线 AM和BN. (1)用分割规在射线AM上，自点A起顺次截取a和2b, .①x=a+2b (2)用分割规在射线BN上，截取BE=3a,再自E向左方截取线段等于2b, 。y=3a-2b. 在图上标注线受的长度，有一定的方法.先在要标注的线设两端，引出细实线作为境界线（图1·21），境界线通常用长约5毫米的细实线表示，在境界线中间再画一条细实线，中间留着空位，注明长度的数字或者小写字母，两端画上箭头，这条细实线叫做尺寸线. ①符号“”表示“所以”。 ·16· ==========第23页========== 例3.已知两条线段A'B'=5.4mm①，C'D'=2.5mm,依照定比10：1放大后画出这两条线段的差. 【解】已知A'B′=5.4mm,C'D'=2.5mm,依题意把它们放大10倍，就是 AB=5.4mm×10=54mm=5.4cm,CD=2.5mm×10=25mm=2.5cm. ..AB-CD=5.4cm-2.5cm=2.9cm.下面是按10：1放大的图（图1·22）： 5.4cm B 3.5cm D -54cm —2.6cm-+2.0cml 图1.22 习题1·3 1.任意画一条线段AB,用分割规和毫米尺量出线段AB的长度 (精确到毫米). 2.任意画一条线段CD,用分割规和毫米尺求出它的中点来 3.已知两条线段长为4.6米和340厘米，用直尺和分割规分别画出按原来的长度缩小到1：100的两线段， 4.在下图中可以找出几条线段？分别把它们表示出来. B (第4题) 5.根据上题的图填写下面的空白： (1)AC=BC+(); (2)CD=AD-()-(): ①“mm”表示毫米，“cm”表示厘米，“dn”表示分米，“m”表示米. ・17 ==========第24页========== (3)BC=AD-()-();(4)AB+BC=()-CD: (5)AD=()+(),把几种答案都写出来. 6.下图中M是线段AB的中点，填写下面的空白： (1)AM=（); (2)AB-AM=(): 8)AM=: (4)AB=2(). (第6题) 7.已知线段AB=15cm,点C在线段AB上，D和B分别是AC, CB的中点，求DE的长， 8、已知一线段的长等于1，把它分成任意两部分，求这两部分的中点之间的长. 9.已知线段a和b(>b),画出一条线段使它等于 (1)2a+2b; （2)3a-2b. *10.下图中的AB=CD,为什么AC就等于BD? (第10题) [提示：AC=AB-CB,BD=CD-CB.] *11.下图中，M是AB的中点，N是BC的中点，O是AC的中点， MN等于OC吗？为什么？ N B (第11题) §1·4圆和圆弧 当我们看到太阳、中秋的月亮和车轮时，它们都给我们圆 的形象。如果以射线OA绕着它的端点O在平面内旋转一周 (图1·23)，这时射线上的一点A也绕着点O旋转一周，如果 ·18· 1甲や ==========第25页========== 在点A装上铅笔尖，就能画出一条首尾衔接的线，这条线叫做 圆，通常我们用圆规画圆.射线的端点O叫做这圆的圆心， 连结圆心与圆上任何一点的线段叫做圆的半径，如图1·23的 OA,OB,OC都是，而且它们都 相等，即 B OA-OB=0C. 以点O为圆心的圆，通常我 0 们记做“圆O”,也可以用符号记 做“⊙0”. 如果两圆的半径相等，把它们的圆心合在一起后，这两个圆 图123 就全部合在一起了.可以全部重合在一起的两个圆叫做解圆.因此，半径相等的圆是等圆，并且等圆的半径相等. 截圆于两点的直线（图1·24）叫做割线(PQ).连结圆上 任意两点的线段(CD)叫做弦.经过圆心的弦(AB)叫做直 径. 我！从线段的加法和同圆的半径相等的道理，可以推知圆的直径等于它的半径的2倍.所以，在同圆或者等圆中的直径都相等. 我们在圆上任意取两点E 和F,夹在E,F两点间的部 国1.24 分(EF)叫做弧、这两点E,F叫做弧的端点.弧可以用符 号“⌒”来表示.例如，端点为E,F的弧，可以记做EF或者 FE.有时我们为了确定这条弧，在孤的两端点之间添写一 个小写字母，如EmF. 19 ==========第26页========== 现在我们来看下面的问题： 问题1.什么叫割线？什么叫弦？它们有什么区别？弦就是割线被圆截在圆内的线段，这句话你看对吗？ 问题2.什么叫直径？直径与弦有什么区别？直径也是弦，这个说法对吗？弦也是直径，这句话对吗？ 问题3.为什么在同圆或等圆中的直径都相等？ 问题4.在图1·25的圆M和圆N中，各有儿条孤？并用 字母把它们确切地表示出来， 요 D 图1.25 注意在回答上述问题之前，应先复习课文，仔细观察各个图形的特点和描述它的字句，然后再比较它们之间的异同. 习题14 1.在纸上任取两点M和N,分别以M和N为圆心，线段MN之 长为半径画两个圆，它们的大小怎样？有几个交点？2。按下列条件画圆： (1)半径等于1.5厘米； (2)直径等于36毫米. 3,设A是已知圆O上一点，试画出下列各图： （1)过点A画直径，能够画出几条？为什么？ (2)过点A画一条割线： (3)过点A画等于半径的弦，能够画几条？ 4.有一圆形的花台，中央立一根旗杆，怎样来测定旗杆是否居中？ 23 ==========第27页========== 角和垂线 §15角，平角和周角 如果我们在纸上取一点，并且从这点引两条射线（图1·26）就得到一个角 从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角.我们用符号“∠”来表示“角”. 两条射线的公共端点叫做角的顶点， 边 顶点 B =0 边 E 图1.26 图127 组成角的射线叫做角的边. 我们通常用表示角的顶点的大写字母来表示角，例如∠0（图1·27）；或者用三个大写字母来表示角，中间的一个是 角的顶点，另外两个分别是角的两条边上的点，例如∠ABC (图1·27)，用三个字母来表示角时，必须把角的顶点那个字母写在中间，有时还可以用注在角里的一个数字或一个小写 字母来表示角。例如∠ABC可以写成∠1（图1·27）. 象上面所说的角的形象，在日常生活和生产中经常会看到，例如两脚分开的分割规和卡钳，钟表上的分针和时针构成的形状等，它们都成一个角（图1·28）. ·21 ==========第28页========== 图1.28 我们也可以把一个角看成是由一条射线，绕着它的端点 ⑨（图1·29），从原来的位置OA顺着图中箭头的方向，转到 最后的位置OB而形成的.射 线的端点就是角的顶点，射线 0A,OB就是角的边. 如果我们依照相同的方向继续旋转，转到两条射线构成 一条直线的位置（图130）时所成的角叫做平角. 图129 再旋转下去，到这条射线回到它原来的位置（图1·31）时所成的角叫做周角， 图130 图131 注意我们取一条射线旋转构成一个角的时候，它旋转的方向规定为逆时针的方向. 现在我们来看下面的问题： 问题1.在图132中，∠1和∠A0B表示同一个角 吗？∠2和∠BOC呢？ .k22. ==========第29页========== 问趣2.在图132中，能不能用∠0来表示∠1或∠2？∠0应当表示哪一个角？ B B 1 0 D 图132 图133 问题3.在图133中，∠B和∠2都表示∠DBF吗？ 用三个字母来表示∠1 注意在回答上面这三个问题之前，先要弄清楚角的三种表示的方法，其次要留心角的内部的记号，如“乙”或“乙”，这些记号都是指明角的大小的，如果当几个角共有一个顶点时，要表示其中某一个角，一般都用三个字母（注意，顶点的字母要写在中间），只有最大的那 个角可以用顶点的一个大写字母来表示.例如图1·32中∠A0C可以 用∠0表示，∠1或∠2就不可用∠0表示. 习题15 1.什么叫做角？说出角的各部分的名称. 2.在6点钟的时候，时针和分针组成什么角？在12点钟的时候又组成什么角？ 3.分别用数字来表示图中的∠AOB,∠BOC和∠COD 4.分别用三个大写字母写出图中的∠1，∠2，∠3和∠4. -D (第3题) (第4题) D 23。 ==========第30页========== §16角的相等和不等 比较两个角的大小和比较两条线段的大小一样，也是采用迭合的方法。就是把其中的一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中一边也重合，如果另外一条边也能重合， 这两个角就是相等的.如图1·34中，∠AOB=∠DEF. 也就是说：把一个角放在另一个角上，如果完全重合，这两个角是相等的， 两个平角重迭起来的时候，它们是完全重合的.由此得出：所有的平角都相等. A E D a 图1.34 两个周角重迭起来的时候，它们也完全重合.因此，所有的周角都相等. 把一个角放在另一个角上，如果它们的顶点相重合，一个角的一边顺着另一个角的一边落下，它们的另一边都在重合 图135 :◆24· ==========第31页========== 的那边的一旁，但是不相重合，这样的两个角就不相等.在图 135中，∠ABC>∠DEF,或者∠DEF<∠ABC.其中 E和B重合，边ED和边BA重合，边EF则落在∠ABC的 两条边的里面.在图136中，∠ABC<∠DEF,或者 ∠DEF>∠ABC.其中E和B重合，边ED和边BA重合， 边EF则落在∠ABC的两条边的外面， 图136 §17角的度量和画法 我们要知道一个角的大小，可以用量角器来度量.量角 器（图137）是一个半圆形塑料板制成的.其中的点O是半 圆形的圆心，把这个半圆弧等分成180个小格子，每一个小格、表示1度，并在小格刻线的下面标明0到180每隔10度的度数.为了度量角度方便起见，在同一个量角器上标出次序正好相反的两排度数、 8岁mg% 图137 ·25 ==========第32页========== 我们用量角器度量角的度数时，先把量角器的圆心O放 在角的顶点上，并使量角器上标明0度那条刻度线对推角的 一边，角的另一边所对准的刻度线上所标明的度数，就是这个角的度数. 3000T0t0010'了607080 03021009000'7和 0060 0 (B) 图1.38 如图138所示，∠ABC=60°，其中量角器上的圆心O 与∠ABC的顶点B重合在一起，又角的边BA与量角器上 的0°刻线重合，角的另一边BC与量角器上的60°刻线重合. 反过来，我们也可以用量角器画出已知度数的角和画出与已知角相等的角.例如我们要画出等于35°的角，可先在平面上定一个点0（图1·39），然后把量角器上的圆心对淮点 O,再沿着量角器半圆周上的刻度定出E,F两点，从点O作 射线0E,OF,得出∠E0F就是所要画的35°角， 80 6000000700 图1.39 ·26· ==========第33页========== 我们还可以用量角器画出等于儿个角的和或者两个角的差的角.如图140中的 ∠ABC=∠1+∠2+∠3. 3 B 图1.40 如图141中的 ∠E0F=∠4-∠5 6￥ 图141 从角的相加可以看到，如果两个角共有一个顶点和一条公共的边，而且其他两边落在公共边的两旁，这样的两个角叫做互为邻角.例如图140中∠1与∠2；∠2与∠3都是邻角.用量角器还可以画出等于一个已知角的整数倍的角.例如，要画一个角等于已知角a的3倍，它的画法就象上面所说的画等于儿个角的和一样，只要在角a上加上2个角a就可以了。如图1·42中的 ● 27· ==========第34页========== ∠P0Q=∠POR+∠ROS+∠S0Q =∠a+∠a+∠a=3∠a. 0 图142 ·用量角器还可以等分一个角.先量出这个角的度数，以等分的份数去除这个角的度数，计算出每一份的度数后，按照 这个度数画出所有的等分角线，例如，三等分∠AOB(图 143).先量得∠A0B=66°，则每一份是66°÷3=22°.再 以O为顶点，作∠AOE=∠E0F=22°，那末OE和0F就 是∠AOB的两条三等分线. 如果把一个角分成二等分时，则中间那条射线叫做角平分线. 图143 图1.44 在图1·44中∠A0C=∠C0B,射线0OC就是∠A0B 的平分线，反过来，如果知道OC是∠AOB的平分线，那末 ∠AOC=∠COB. ·28· ==========第35页========== 讲到这里，我们已经学会用量角器来画出几个角的和、两个角的差、一个角的整数倍和一个角的儿等分的角.但是，量角器的最小刻度是1°，如果要画的那个角的度数不是整数，例如35.3°，它的一边就在量角器上35°与36°之间，因此在画的时候就必须用目测来估计这边的位置，这样画出来的角就不可能很精确，总会有一些误差.所以，用量角器画角是一种近似画角的方法.但只要我们在画角的时候注意到它的精确度，是可以画出误差小于1°的角，这样，就认为是达到画角的要求了 取一张纸，在它的一边上标出一点0（如图1·45）作为平 角的顶点，OA和OB分别是这个平角的两边，事实上A,O, B在一直线上了. 0 图145 如果把这张纸折过来，使折痕过点O,并且射线OA与 OB相重合，这时这个折痕就把这个平角分成相等的两个角， 其中的每一个角都是平角的一半，我们把平角的一半叫做遭角.通常用记号“”或“起”来表示直角. 在上图中的∠AOC=∠C0B,而且∠AOB是平角，所 以它们都是直角。直角的大小通常用字母风来表示，就是∠AOC=d,∠COB=d.平角等于2d.周角等于4d.因为所有的平角都相等，因此平角的一半也相等，所以直角都相等. 29 ==========第36页========== 我们从量角器上所刻的度数可以知道，一个平角是180°.因为一个周角是平角的2倍，所以周角是360°.一个直角是平角的一半，所以直角是90°. 我们再看图1·46中所画的这些角： 图1.46 其中的∠A和∠B都小于直角，这种小于直角而大于0° 的角叫做锐角(0°的角可理解为一条射线没有转动时的角)。 其中的∠C和∠D都比直角大，这种大于直角而小于 平角的角叫做钝角. 也可以有大于平角的角（图1·47）.但是现在我们所研究的都是小于或等于平角的角；至于比平角大的角，除非特别指明，一般我们不研究 图147 为了要精确地表示一个角的大小，我们把一度分成60等分，每一份叫做一分，再把一分分成60等分，每一份叫做一秒、用度、分、秒等单位来计量角的大小，那就精确得多了。度、分、秒分别用符号“。”、”、“w”来表示。例如一个角是2度25分80秒，可以写成3225'30”. 例1.如图148中∠AOB=∠D0C,图中还有相等的 角吗？为什么？ 30· ==========第37页========== D 0 图148 【解】因为∠AOB=∠DOC,如果这个等式的两边同 时加上∠BOC,就有 ∠AOB+∠BOC=∠DOC+∠BOC, 相加，得 ∠ACC=∠DOB. 这是因为“等量加等量其和仍相等”的缘故. 例2.如图1·49中，已知∠AOC=∠BOD,一定有 ∠AOB=∠COD,为什么？ 【解】因为∠AOCD =∠BOD,如果这个等式 B 的两边同时减去∠BOC, 就有 ∠AOC-∠BOC =∠BOD-∠BOC, 图1.49 相减，得 ∠AOB=∠COD. 这是因为“等量减等量其差仍相等”的缘故. 例3.如图1.50中，∠∠A0B是 直角，∠1=2130'，∠2=5015'， 1 ∠3是多少度？ 图1.50 【解】因为∠A0B=90°，∠1=2130'，∠2=5015'. 31・ ==========第38页========== .∠3=90°-(2130'+5015) =90°-71°45 =1815'. 答：∠3=1815'. 例4.计算窗框（图151）相邻两根术条间所夹的角a是多少度？已知窗框间的夹角都是相等的. 图1.51 【解】因为一个平角等于180°. 窗框之间的夹角a都是相等的，如图共有6个角a, .∠a=180°÷6=30° 答：∠a=30°. 例5.从点0引四条射线 0A,0B,0C和0D(图1·52)， 如果∠AOB,∠BOC,∠COD 和∠DOA的度数之比是1：2： 3:4,求这四个角各是几度？ 【解】因为一个周角等于 D 360°， 图1.52 .∠AOB+∠BOC+∠C0D+∠D0A=360°. 已知∠AOB:∠BOC:∠C0D:∠D0A=1:2:3:4,我们 从算术里的配分比例方法，求得 ·32· ==========第39页========== ∠A0B=360°×1+2+3+4 =360°×0=86， ∠B0C-80×品=2， ∠C0D-860-×8=108°， ∠D0A-860×0-14, 答：∠A0B=36°，∠B0C=72°，∠C0D=108°，∠D0A=144°. 习题17 1.时钟在3点钟的时候，它的时针和分针成什么角？ 2.根据下图填写下面空白： (1)∠A0C=()+(); 、(2)∠BOD=()+(); (3)∠AOC-∠B0C=( B (4)∠AOD-∠BOC=() +()； -C (5)∠DOC=∠AOD-()； -D (6)∠A0D=()+(), (第2题) 有几种答案都写出来 3,在图中∠AOB=∠BO0=∠COD=∠D0冠，哪一个角等于 ∠A0B的4倍？哪些角等于∠BOC的3倍？哪些角等于∠AOE的二 分之一， 4.如图中，两角∠AOC和∠BOD都是直角，那末∠AOB =∠COD,为什么？ [提示：∠AOB=∠AOC-∠BOC,∠COD=∠BOD-∠B0C] ◆33· ==========第40页========== (第3题) (第4题) 5.试用一副二角板画出30,45,60,75°，90°的角 [提示：用量角器度量一副三角板上有哪些度数的角，再用三角板依照角的画法画出上列各角.] 6.任意画一个角，再用量角器： (1)画出一个角等于它的4倍； (2)把它三等分. 7.用量角器度量下图中三角形的三个顶角的大小（精确到1），并且计算它们的和.再任意画二个三角形，分别度量它们的三个顶角的和，你发现了什么？ 8.已知两个角的和等于7324，它们的差等于23°，计算这两个角的大小.再用量角器近似地画出这两个角， (第7题) 9.根据下面的方位图，我 北 们来看：北和东两个方向所成的角是几度？南和南西呢？北 北興 北 西和北东呢？西和南东呢？东和西呢？ 10。用目测的方法来画出30,45,120°和135°各角，再用量角器来度量，检验画出的角的误差有几度？ 常西 南戏 11.画出一个锐角和一个纯角，先目测它们的大小，再用 南 (第9题) ·34· ==========第41页========== 量角器来度量，检验目测的角度的误差. 12.从点0引射线OA,OB,OC(如图)，已知∠A0B=90",义 ∠AOB和∠BOC的角平分线所成的∠EOF等于60'，求∠AO0 和∠COB. [提示：先求出∠EOB,再求∠BOF.] 0 (第12题) 13.计算：(1)4536+7857'； (2)95°3515-48°47′26"： (3)5532'16"×3; (4)163°40'÷8. ：14.从直角的顶点引一条射线，把它分成两个角，其中一个角比另 一个角大18度，求这两个角的度数. 15。从直角的顶点引-条射线把它分成两个角，这两个角的平分线所成的角是几度？ 16。从直角的顶点引一条射线，把它分成的两个角的度数的比是1:3,求这两角各是几度？ 17.把一平角三等分，求两旁边两角的平分线所成的角的大小， 18。把一直角四等分，求中间两个角的平分线所成的角的大小. 19。用折纸的方法把一个角分成2等分、4等分. 20。挖泥时，铁锹与地面形成两个角，当人身边的角是另一个角的一半时最省力，求 (第20题) 这两个角. ·35· ==========第42页========== §18垂 线 我们在纸上画两条直线，如果它们相交，那末只能相交于 一点，这点叫做两直线的交点· 如果两条直线相交成直角，那末这两条直线叫做互相善 直，在图1·53中，直线AB 和CD是互相垂直的. 我们用符号“⊥”来表示“垂直于”.例如，在图 153中AB1CD,或写成 CD⊥AB,它们的相交点 E叫做垂足、 E 在日常生活和生产中，互相垂直的情形是很 图1.53 多的，例如，房屋的柱和梁一般是互相垂直的影台脚和台框也是互相垂直的；东西方向和南北方向也是互相垂直的；等等.过一点画一条直线的垂线，可以用三角板（图1·54）.用三角板画垂线时，一般是把三角板放在右边，铅笔从下方引向上方.在图154的右图中的情况，可以将虚线画的三 点P在AB外 点R在CD上 图154 。36 ==========第43页========== 角板拿掉后，沿着左面那块三角板画垂线较准确、 在工厂里，要画工作物边缘的垂线，用曲尺最方便（图 1.55). 我们很容易看到，过直线外或者直线上的， 曲尺 点，都只能画一条直线和原来的直线垂直. 实际上，如果点P在 AB上，而PC⊥AB(图 PAMTTTPMMTN 156),那末通过AB上的 点P所引的任何其他射线 都不能与直线AB垂直， 图1.55 例如PK就不能垂直AB, 因为∠KPB小于直角，∠KPA大于直角，所以都不是直角. 如果点P在直线AB外.我们取一张纸，画一直线AB, 并在AB外指定一点P.沿着直线AB把纸折迭起来，用小 图156 图157 针尖刺点P,则在纸的另一半面上留下和点P对齐的小孔 (P).再把纸摊平，经过点P和点P'画一直线PP(图1·57)， 它与AB交于点O,倘再沿着AB折迭，就会看到∠P'OB 。37· ==========第44页========== 与∠POB重合，而且∠POP'是一平角，所以∠P'OB和 ∠POB都是直角，也就是PP'⊥AB. 如果从点P引其他任何直线，例如PE,都不能垂直AB. 因为∠PEP'小于一平角，它的一半∠PEA就小于一直角， ∠PEB则大于一直角，所以都不是直角. 这样，就证实了过直线外或者直线上的一点，都只能画一条直线和原来的直线垂直， 从直线AB外一点P到AB的垂直线段PO的长，叫做 点P和直线AB的距离，PO是所有从P到AB上各点的线 段中最短的一条（图157）. 我们学了垂线和用三角板画垂线以后，就可利用它来检查三角板的直角是否准确.先画一条直线，在这条直线上任意取一点作为角的顶点，过这点用三角板画直角。然后把三角板翻过来，使直角的同一条边放到这直线上顶点的另一旁，并且再用已知点作角的顶点画第二个直角。如果所画的两条直线重合（图1·58(1）)，三角板就是准确的，如果所画的两条直线不能重合（图158(2）)，三角板就不准确 (1) (2) 图.1.58 问题1、地面上已经画好一条直线，要过线外一点作它的垂线，一人握住绳子的一端，固定在这一点，另一人把绳子拉直来确定垂足的位置，他应当怎么办？（图1·59） ·38· ==========第45页========== 问短2.已知两条直线相交所得的四个角中，有一个是直角，其他三个角各等于多少？ 问题3.填充下表中的空白，其中d=90°. 图1.59 d 号aa 4 90° 45° 30° 15 6 习题1·8 1.分别自点P1和P2画直线1和12的垂线，并把垂足用字母标出、 P° ●P (第1题) 2。几点钟的时侯，钟面上两针是互相垂直的？3。举出一些两直线互相垂直的实际例子. (第4题) ·39 ==========第46页========== 4,上图中P在AB上，Q在CD上，分别画出和量出P和Q的 离，P和直线CD的距离，Q和直线AB的距离. 5.自钝角的顶点引它的一边的垂线，如果把它分成两个角的度数比是 (02(2)号：号号：是3 5 求这些钝角的大小。 P 00 (第5题) (第7题) [本题的(1)做在下面，供你参考. 解：图中PO⊥AO,又∠POB:∠AOP一2：3，根据算术的比例知 识，得 忠=2 903 计算比例式，得 x=60, 。∠A0.B=∠AOP+∠POB=90°+60=150°. 答：∠A0B=150'.] 6.把一平角三等分，求中间一个角的平分线和平角的边所成的角是几度？这条角平分线与平角的边垂直吗？为什么？ 7.如图中，钝角∠AOB=∠COB,又COLA0.求∠AOB的 度数. 8.能不能引两条直线同垂直于一条直线？过同一点呢？· 9.画出两条直线，使它们与一已知点的距离相等。 。40。 ==========第47页========== §19余角、补角、对顶角 我们用量角器来量二块不同形状的三角板的两个锐角，就会知道，其中一块的两个锐角分别是30°和60°；另一块的两个锐角都是45°.每一块三角板上两个锐角的和都是： 30°+60°=90°；45°+45°=90°. 象这样的两个角的和等于90°的情形是很多的，例知，自直角的顶点在两边之间任意引一射线，把直角分成两个角，这两个角的和也等于90°.在图1.60中 ∠A0B=90°， 而 ∠AOC+∠COB=90°. 如果两个角的和等于90°， 图160 那末这两个角叫做互为余角， 例如，30°角是60°角的余角，60°角也是30°角的余角. 我们根据互为余角的关系，就容易推知下述结论是正确的： 等角（或同角）的余角相等.例如，已知∠1=∠2，而 ∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴.∠3=∠4（等角的余角相等). 又如， ∠1+∠a=90°，∠1+∠b=90°， .∠a=∠b（同角的余角相等). 如果两个角的和等于180°，那末这两个角叫做互为补角.例如，30°和150°角；100°和80°角；等等， 41， ==========第48页========== 如果我们把任意一个锐角或者钝角的一边，从它的顶点向外延长，就得到两个角，它们的和等于180°.它们同时又是邻角，所以叫做邻补角： 图1.61中的∠1与∠2，∠3与∠4都是邻补角. 图161 我们根据互为补角的关系，可以推知，等角（或同角）的补角相等. 如果我们把一个角的两边从它的顶点向外延长，就得到 两双角，象图1.62中的∠A0B与∠COD,∠AOD与 ∠BOC;它们中间一角的两边都是另一角两边的反向延长 线。 0 图162 如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则 这两个角叫做对顶角，图1.62中的∠AOB和∠COD; ∠AOD和∠BOC都是对顶角. 。42· 春篮么o ==========第49页========== 现在来计算下面的题目： 已知∠AOB=55°，计算它的对顶角C0D是儿度？（图 1C3). B D 图163 【解】因为∠AOB和∠COD是对顶角，因此AC和 BD都是直线，所以 ∠A0B+∠B0C=180°， ∠C0D+∠B0C=180°. 从上式可知 ∠AOB=∠COD(同角的补角相等). 但已知 ∠A0B=55°， .∠C0D=55°. 答：∠C0D是55°， 我们参照上面的做法，如果设∠AOB=38°，那末它的对 顶角∠COD几度呢？显然，∠COD=38°，也就是∠AOB= ∠COD,从此得出 对项角的性质：对顶角相等.例1.求2530'的余角和补角. 【解】它的余角是90°-2530'=6430'. 它的补角是180°-2530'=15430'. 例2.互为补角的两个角，能不能都是锐角？钝角？直 43・ ==========第50页========== 角？在一般情形是哪种角？ 【答】(1)互为补角的两个角不能都是锐角、因为如果它们都是锐角，则它们的和一定小于2d,而不等于2d. (2)互为补角的两个角不能都是钝角，因为如果它们都是钝角，则它们的和一定大于2d,而不等于2d. (3)互为补角的两个角可能都是直角.因为两直角的和等于2d. (4)在÷般情形，互为补角的两角是个锐角和一个钝角. 例3.已知∠a=15°，求∠a的余角的补角是几度？ 【解】图164中，∠a=15°，∠A0C=90°，又B0D是 一直线. 0am15 图164 可知∠b是∠a的余角，∠c是∠b的补角，也就是∠c是∠a的余角的补角.计算得， ∠b=90°-15°=75°，∠c=180°-75°=105°. 答：∠a的余角的补角等于105°. 例4.图165中直线AB与CD相交于O,·∠AOC= 3230',求其余三个角的度数. ◆44。 ==========第51页========== 8280y 0 D 图165 【解】已知∠AOC=3230',又AB和CD两直线相 交于O,则 ∠B0D=∠A0C=3230'(对顶角相等). ∠B0C=∠A0D=180°-3230' =14730' ·(∠BOC与∠AOC互补，∠BOC与∠AOD是对顶角) 答：∠B0D=3230',∠B0C=∠A0D=14730', 习题19 1.下图中C0⊥AE,∠AOB=∠EOD,在图中还有相等的角吗？ 为什么？ 2。用量角器画出下列各角的余角： (1)36,(2)65,(3)1d. D B 3.用量角器画出下列各角的补角： …0 (四gd,②)125(8)1号. (第1题) [画已知角的补角有二个方法： (1)先计算出它的补角的度数，再画出这个角： (2)先画出已知角，再延长它的一边.] 4。一个角比它的余角大20°15'，求这个角的度数. •45· ==========第52页========== 5.附图中∠A0C=∠B0D=90',又∠AOB:∠B0C=13:32. 求∠COD的度数 [提示：仿照习题18第5题先求出∠AOB.] D 0 (第5题) (第7题) 6.一个角是它的补角的3倍，求这个角 7.如图中三直线相交于一点，已知∠1=96，∠5=70'，求∠2，∠3，∠4和∠6各角的度数. 8.两个角的度数的比为7：3，它们的角度差是72°，这两个角互为补角吗？ 9.如图中AB是直线，∠1=∠3，则∠2=∠4，为什么？ D 1 34 6 2 3 (第9题) (第10题) 10.直线EF截AB和CD成8个角，哪几对角是对顶角？如果已 知∠2=70°，∠5=106°，求其余各角的度数（图如上）. 。46◆ ==========第53页========== 11.如附图，直线AD和BC相交于点O.∠AOB和∠COD的和 等于225°，求∠A00. D (第11题) (第12题) *12.附图中AB是一直线，OP是∠B0C的平分线，OQ是∠COA 的平分线，那末∠POQ是一个直角，为什么？ *13.直线F截AB和CD成8个角，已知∠3等于∠5，则∠1+∠8 =2d,为什么？ B 56 (第13题) 平行线 §110平行线 在一个平面上如果两条直线有一个公共点，这两条直线叫做相交直线， 例如，直线AB和CD有一个公共点E,这两条直线就 ·9· ==========第54页========== 是相交的.直线PQ和RS也是相交的，我们只要把这两直 线继续画出来，它们的交点是0（图166）。 图166 但是，在生活实际中，我们还常常看到，象书本的上下两条边，铁轨下面的枕木，卡尺的两条腿等等，这些都给我们不相交直线的形象（图167）. 盆23 图167 从上面这些例子可知，在一个平面内还有不相交的两条直线、 在同一个平面内，两条不相交的直线叫做平行线 图168中的AB和CD,无论怎样把它们向两方继续地 D 图168 ·49· ==========第55页========== 画出来，它们是永远不会相交的.象这样的两条直线，我们就叫它们是平行线.通常用记号“∥”来表示平行，读作“平行 于”.如上图中的AB平行于CD,写成AB∥CD 在习题19第10题里已经看到，如果一直线EF截两 直线AB和CD,就组成8个角 (图169)，其中的四个角排在 一个交点的周围，而其他四个 12 413 角排在另一个交点的周围 直线DF和两直线AB和 CD都相交，叫做这两直线的 6 载线.例如图169中的EF 就是AB和CD的截线. 在直线AB和CD之间的 图169 4个角，也就是图中的角3、4,5、6叫做内角，角1、2、7、8叫做外角. 这8个角我们可以用不同的方法，把它们一对一对地结合起来，由于各对角关于直线和截线的位置不同，它们的名称也不同。其中 角1和5,2和6,3和7,4和8都叫做同位角.角3和5,4和6都叫做内错角.角1和7,2和8都叫做外错角.角3和6,4和5都叫做同旁内角.角1和8,2和7都叫做同旁外角. 我们把一直线截两直线所成的8个角简称为“三线八角”.这8个角的名称和它们之间位置关系，对于研究平行线很有用处，必须把它们弄清楚、 问题1，说出图170中∠1和∠2，∠3和∠4的名称， 。49 ==========第56页========== (2) (3) 里1.70 问题2.在图171中找出哪些角是同位角，内错角，同旁内角？ 9 图171 注意回答这个问题时，先要说出哪三条直线所成的角，然后再找问题指明的哪些角， §1·11平行线的判定和画法 假设当两条直线AB和CD被截线EF所截成的内错角 相等（图172(1）)，例如∠1=∠2时，我们来证明直线AB∥ CD,要证实直线AB平行CD,也就是要证实AB与CD不 相交. 由于∠1=∠2，因为∠3和∠4分别是两个等角的补角，所以∠3也等于∠4. ·501 が。 ==========第57页========== B (N) D 0 ⑧) (3) 函172 取图(1)线段MN的中点O,把图形在平面内绕着点O 旋转，使它右边部分转到左边，左边部分（阴影）转到右边，如图(2)所示. 事实上，旋转时点O没有动，使线段ON转到OM的位 置，也就是线段MN在原来位置调一个头，点N调到M,点M 调到N的位置. 因为∠1=∠2，ND就与MA重合，也就是直线DC与 AB原位置重合；又因为∠3≈∠4，MB就与NC重合，也就 是直线BA与CD原位置重合，如图(3)所示，其中括号内的 字母表示旋转后的位置. 如果我们假定AB与CD能相交于很远的地方一点P, 则在旋转后的(A)(B)和(C)(D)的方向恰好是原来的相反 方向，根据上述假定，它们又必须相交于P'.但是这是不可 。51. ==========第58页========== 能的，因为两条直线如果相交，只能有一个交点. 因而我们假定AB与CD在内错角∠1=∠2的情形下 能相交是不可能的. 所以AB∥CD就得到了证明. 注意本节的证明是用的旋转图形方法，读者初看起来可能会不请楚、建议读者最好用硬纸条依照图1·73(1)做同样的两个模型，使它 们的内错角相等，并且把模型固定起来，用红色涂B和D这两个头，然 后把这两个相同的模型重合在一起，以点O为中心（在点O插一小针） 旋转上面那个模型，达到图1·73(3)的位置.通过模型演示一番以后，对这种旋转会清楚得多，再看上面的证明，就容易明白了 B(A 2 人2 D(C) 陷D (1)下面 (2)上面 M ( (D) B 0 2 (A) D ()旋后的情形 阻173 上面的叙述包括两个部分： 1.假设直线AB和CD被截线EF所截成的内错 角相等，即∠1=∠2 ·52 ==========第59页========== 2.结论AB∥CD. 如果关于一件数学事实的叙述包含“假设”和“结论”这两个部分，那末这样的叙述就成为一个数学命题，简称命题.例如，§1·1里的“经过两点可以画一条直线，并且只可以画一条直线”是一个命题，它的假设是“经过两点画直线”；结论是“可以画一直线并且只能画一条直线”.又如§19里对顶角的性质也是一个命题，它的假设是“两直线相交所成的对顶角”；结论是“对顶角相等”.象这样的命题我们在前面已经学了不少，读者自己去观察一下就会发现的. 如果一个命题根据它假设的条件，经过证明的步骤，证实它的结论是正确时，我们称这个命题为定理.上面这个定理是判定两条直线平行的，因此叫做平行线的“判定定理”.这个定理我们叙述如下： 平行线判定定理1两条直线和第三条直线相交，如果内错角相等，那末这两条直线平行， 现在我们再来看下面的定理： 平行线判定定理2两条直线和第三条直线相交，如果同位角相等，那末这两条直线平行， 已知∠1=∠5（就是定理的假设∠1=∠5).（图 M/1 8 .B 1.74) 求证AB∥CD(就是 定理的结论AB∥CD). 在证明定理的时候，应该先进行分析，探求证明的途径，然后再进行证明 图1.74 分析根据定理1，如果能证得内错角∠3=∠5，就可判定AB∥ ·53· ==========第60页========== CD.这里∠1和∠3是对顶角，所以是相等的，而题设∠1=∠5，就 可以证得∠3=∠5 【证】∠1=∠5（已知），又 ∠1=∠3（对顶角相等），".∠3=∠5（等于同量的量相等）.根据平行线判定定理1，可以判定： AB∥CD 这里要特别注意，某些命题必须证明了它的结论是正确的，才能确定这个命题是一个定理、在证明的时候，先要分清命题的已知条件（假设）和求证（结论），也就是已经知道了哪 一些条件，要求证的是什么？这一步很重要，当然对初学几何者来说会产生一定的因难，希望读者特别重视.证明时先依照题目的条件画出一个符合于条件的示意图（如图1·74就是），作为分析思考的依据。然后从已知条件和前面已经学到的儿何命题（结论已证明是正确的）来探求证明的途径.找到了证明的方法以后，就应该按照证明步骤进行证明.在证明里的每一步都要有根据（已知条件或已经学过的定理），并且把它的根据用简明的叙述写在括号里，例如平行线判定定理2的证明格式，它包含四步：(1)已知；(2)求证；(3)分析；(4)证明. 其中的(1)，(2)，(4)是不可缺少的.分析这一步非常重要，我们通过分析来获得证明的途径，也是能不能证明的关键。但是这一步可以在草稿纸上做，不必写出来.本书所以写出来是做一个示范，启发读者思维和分析能力· 读者或许会这样想，定理为什么一定要经过证明这个步骤呢？下面举出几个例子来说明定理的证明是必要的 例1.如图1·75中的线段a和b,凭目力来观测，就会感觉线段3比线段b较长，其实线段a是等于线段b的，我们用两脚规来量一下就可以证实了. ·54 ==========第61页========== 图1·75 用两脚规量的过程，就是一种证明的方法，它的依据是等于同量（两脚尖的距离)的量相等.本例说明了目力估计是不足为凭的， 例2.“一个正方形，它的每边是8个单位长，它的面积不是64个，而是65个平方单位.”这个例题是一个诡辩，如果不经过证明，就很难驳倒它（图1·76） Ⅱ (1) (2) 红I (3) 图176 诡辩的理由是这样的，把正方形分成四部分，如图1·76(1).再把 梯形I和三角形III,梯形II和三角形IV拼成图1·76(2).把(2)中 的两个三角形拼成图176(3)，而(3)是一个长方形，它的宽是5个单位，长是13个单位，由于13×5=65，所以它的面积是65个平方单位， 。55· ==========第62页========== 其实诡辩的理由是不成立的.因为它用的是“实验方法”，是没有根据的.图(2)就不是三角形，图(3)也不是长方形.这些都必须经过证明来批驳它.本例说明了凭脱空的实验也是不可靠的.象这样的例子很$,这里不多举了. 总之，一个定理是否成立，必须经过证明才能确定，下面我们来讨论平行线的判定： 平行线判定定理3两条直线和第三条直线相交，如果同旁内角的和等于180°，那末这两条直线平行. 已知∠4+∠5=180°（图1.77）. 求证EF∥GH 分析如果能证得∠3=∠5， 就可判定EF∥G丑.∠3+∠4= 180`(EF是ǐ线)，又已知∠5+ ∠4=180°，从此可以知道∠3=∠5。 【证】·∠5+∠4=180（已 G 知)， 又∠3+∠4=180°(EF是 图1.7 直线)， .∠3=∠5（同角的补角相等）.根据平行线判定定理1，可以判定： EF∥GH. 根据上述的判定定理，我们可以用直尺和三角板作平行线. 画的方法如下： 将三角板靠在直尺上，如图1·78所示.把三角板移动，使它的一条边顺着直尺滑动， 1.78 。56: ==========第63页========== 而顺着三角板的其他一边作两条直线，则这两条直线是平行线（根据判定定理2）， 一只头 画平行线还可以用丁字 一尺身 尺，丁字尺分尺头、尺身两部(图1.79)，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相 尺头 垂直，也有把尺头和尺身用螺 一尺身 0 栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度， 图179 用丁字尺画平行线的方法如图1·80.画直线时要按定尺身，推移时必须使尺头靠紧图画板. 图130 习题111 1.如图.根据下列已知条件，分别说出直线AB∥CD的理由： (1)∠1=∠5； (2)∠1=∠7； (3)∠4=∠6； (4)∠3+∠6=180； 10 (5)∠1+∠8=180： (6)∠9=∠10=90°. (第1题) ·57, ==========第64页========== 2如图中∠ABC=120°，∠BCD=120°，AB平行CD吗？为 什么？ ⊙ 120°. 1209 B (第2题) (第3题) 3.如图中，∠1=∠4，∠2=∠3，AM∥ND吗？为什么？ 4.已知∠1=∠2，∠2=∠3（如图）.求证：a∥c. [证：∠1=∠2（已知），∠2=∠3（已知）， .∴.∠1=∠3（等于同量的量相等）. .a∥c(同位角相等两直线平行)， 注意：做下面的证明题要照本题的格式来证明，每一步都要把理由用括号写在后面.] .B (第4题) (第6题) 5.怎样用直尺和三角板来检验两条直线是不是平行. [提示：检验方法同三角板推平行线类似，但是本题的两条直线是已知的.] 6.如图中的∠C0D=}a,∠1=1号d,4B和0D是不是平行？为什么？ [提示：本题是一个问答题，只要说出它的结论和理由.]•58· ==========第65页========== 7.如果两条直线都和第三条直线垂直，那末这两条直线平行.[提示：本题是一个证明题，先照题目画好图，写出“已知”和“求证”.然后再“证明”.门 8.如图中已知∠1=∠2=∠3=∠4，求证：AB∥DC,AD∥BC [提示：要证明AB∥DC必须证得∠1=∠4；要证明AD∥BC必 须证得∠3=∠2.] D 2 1 (第8题) (第9题) 9.如图中，已知CE平分∠DCB,BB平分∠ABC,又∠1十∠2 =90°. 求证：AB∥DC.● [提示：证明∠ABC+∠DCB=180°.] 10.用直尺和三角板，过已知直线6外面的一点P(下图)画直线& 的平行线。能画几条？ ●P ●g (第10题) (第11题) 11.如图中，Q是∠ABC内的一定点，过点Q画两直线分别平行角 ABC的两边. 59 ==========第66页========== §1·12平行线的性质 我们从习题1·11里第10题的作图的结果，可以知道平行线有下面的性质： 平行公理过已知直线外的一已知点，只能作一条直线平行于已知直线 如图1·81，过点0作出 了直线CD平行于直线AB. 那末过点O的任何其他的直 线和直线AB都不平行，面 和直线AB相交. 这里请特别注意，凡是不 图181 独证明而采用的真理叫做公理、公理是命题的一种，它的结论的正确性是经过亿万次的实践证明过的，因面被大家公认为真理、它和定理不同，用不着象定理这样的证明就能确定它的结论是成立的，例如，§11里的“经过两点可以画一条直线，并且只可以画一条直线”就是一条直线的公理，它的结论是不能、也不必象定理那样去证明，只能通过画图实践来验证 平行线还有下面的一些性质： 平行线姓质定理1两茶方线和第三条直线相交，那末同位角相等. 已知AB∥CD,EF是 它们的截线（图1·82）.求证同位角∠1=∠2， 图182 .·60 ==========第67页========== 分析要证明∠1=∠2，我们也可以证明∠1不等于∠2是不可能的.采用这种方法证明的时候，先要假定∠1不等于∠2（大于或者 小于)，那末再过点0作补助线OP,使∠BOP=∠2，如图1·83所示. 然后再证明∠1不等于∠2是不可能的. 【证】假定∠1不等于∠2，这样就可以过点O作一补 助线OP,使∠E0P=∠2（图1·83）. 但如果∠EOP=∠2，则、 直线OP∥CD(同位角相等 则两直线平行)，而已知AB∥ CD. 这里得出经过一点O有两 条直线AB和OP都平行于直 线CD,这是不可以的（平行公 理). 图1.83 这是由于假定∠1不等于∠2面引起的矛盾，因此∠1不等于∠2的假定是不成立的.既然∠1不等于∠2不成立，那末∠1就应该等于∠2 从此得出本定理的结论，平行线的同位角相等. 这里所采用的证明方法，不是直接去证明∠1=∠2，而是反面去证明∠1不等于∠2是不可能的.~事实上否定结论的反面，就是肯定结论的正面成立、这种证明的方法叫做反证法. 有时为了证明的需要添作补助线（图1·83的0P),并且 把补助线画成虚线，以便于区别. 我们根据平行线性质定理1，就容易得到下面的一些性质： 平行线性质定理2两条平行线和第三条直线相交，那末 ·61 ==========第68页========== 内错角相等. 已知AB∥CD,F是它们的截线（图1·84） 求证∠3=∠2 分析要证明∠3=∠2，可以这样想：∠3=∠1（对顶角），如果能证得∠1=∠2，就可证得∠3=∠2. 但已知AB∥CD,所以∠1=∠2 (平行线的同位角相等)，从这里可以证得本题的结论 【证】AB∥CD(已知)， 根据平行线性质定理1，可以得出 图184 ∠1=∠2， 又 ∠1=∠3（对顶角相等），。 ∠3=∠2（等于同量的量相等）. 平行线性质定理3两条平行线和第三直线相交，那末同旁内角的和等于180°. 已知AB∥CD,EF是它们的截线（图1·85）. 求证∠2+∠4=180°.分析要证明∠2+∠4=180,只要证得∠1=∠2，因为∠1+∠4=180°，但题设 .4 AB∥CD,∠1=∠2（平行线 的同位角相等)，由此可以证得本题的结论 【证】AB∥CD（已 知)， 根据平行线性质定 图185 理1，可以得出 62 ==========第69页========== ∠1=∠2， 又 ∠1+∠4=180°（邻补角)， .∠2+∠4=180°（等量代入）. 三直线平行的定理如果两条直线都和第三条直线平行，那末这两条直线也互相平行， 已知AB∥EF,CD∥EF(图1.86). 求证AB∥CD. 分析要证明AB∥CD,可 先作一补助直线PQ与它们相交， 证明∠1=∠2就可以了.但是题 设AB∥EF,CD∥EF,所以有 D ∠1=∠3和∠2=∠3（平行线的同位角相等)，即可证得∠1=∠2 【证】任意画一条补助 直线PQ与AB,CD,EF都 相交，并注明它们的同位角 图1.86 为∠1，∠2和∠3（图1.86）. ①AB∥EF(已知)， .∠1=∠3（平行线的同位角相等)， 又 CD∥EF(已知)， .∠2=∠3（平行线的同位角相等），。∠1=∠2.根据平行线的判定定理，就有 AB∥CD. 例1.已知∠1=∠7（图 1.87). 图1.87 ①符号“”表示“因为”。 ·63◆ ==========第70页========== 求证11∥2 分析要证明11∥1，只要证明∠1=∠5就可以了. 【证】∠1=∠7（已知)， ∠7=∠5（对顶角）， .∠1=∠5 根据平行线的判定定理2，则有 L1∥l2. 例2.求证，和两条平行线中的一条垂直的直线，也和另 一条直线垂直. 已知Z1∥2，又1⊥3（图 1.88). 求证12⊥13. 23 分析要证明12.Ls,只要证明∠1=90°就可以了. 【证】⊥3（已知）， 。∠2=90°. 图188 又 1∥2（已知）， 。∠1=∠2（平行线的同位角相等）， 即 ∠1=90°（等量代入）， 2⊥l3. 例3.已知AB∥CD,∠1=∠2（图1.89），那末CD平 分∠BCE. A B 本例的求证可以改写如下：求证∠3=∠2. 【证】AB∥CD（已知)， 8 .∠1=∠3（平行线的内 错角相等). 但·∠1=∠2（已知）， 因189 64 ==========第71页========== .∠3=∠2（也就是CD平分∠BC). 例4.已知AB∥CD,∠3=45°，∠1=75°（图190）， 求∠A. 【解】因为AB∥CD. 2 所以∠2=∠8=45°(平行线的内错角相等)， 而∠A+∠1+∠2=180° (平行线的同旁内角互补)， 图1.0 .∠A=180°-∠1-∠2 =180°-75°-45° =60°. 答：∠A=60°. 例5.已知∠1=∠2，又∠3=100（图1.91）.求∠4. 【解】因为∠1=∠2（已知），又 ∠2=∠5 (对顶角)， .∠1=∠5. .l1∥2 (同位角相等). 可知∠3+∠4=180°(平行线的同旁内角互补)， 图1.91 .∠4=180°-∠3， 已知 ∠3=100°， 即 ∠4=180°-100°=80° 答：∠4=80°. ·65。 ==========第72页========== 习题112 1.已知AB∥CD.在图中找出相等的同位角，内错角和互补的同 旁内角。 10 B (第1题) (第2题) 2.已知AB∥DC,∠ADC=∠ABC(如图).求证∠1=∠2. [提示：先证明AD∥BC.] 3.图中已知AB∥CD,∠D=23,∠B=42°.求∠D形B. [提示：过E作补助线EF平行于AB.] D B (第3题) (第4题) 4.如图，已知AB∥DC,AD∥BC,并且∠A是直角，求其余三个 角的度数. 5.如图，已知∠3+∠4=180'.求证∠1=∠2.[提示：先证明a∥b.] (第5题) 65● ==========第73页========== 6.如图，已知ABICD,∠1=∠2.求证EB∥OF. [提示：证明∠EBC=∠FCB.] 2 (第6题) 7.如图，已知1∥2.求证∠1十∠8=180°.[提示：先证明∠1=∠5.] D 8 (第7题) (第8题) 8.如图，∠B=∠D=120,∠A=60', (1)哪些直线是平行的？ (2)求出∠C的度数. 9.用曲尺画CD⊥AB,再画EF⊥AB,就可知道CD平行于EF, 为什么？ D D Tt"TT厂P B (第9题) (第10题) 10.如图，已知∠A=∠B,又ABI DO.求证∠D=∠C. 。的。 ==========第74页========== 11.如图，BCD是一直线，CE∥BA,∠1=50°，∠2=47°.求 ∠A,∠B和∠ACB的度数. B D (第11题) (第12题) 12.如图，已知BA∥DE,∠B=150°，∠D=140°.求∠C [提示：过点C作补助线平行于BA.] 13,两条平行线的同旁内角的度数之比为11：7，求这两角的度数[提示：可设这两角的度数为和y,根据题目所指出的关系，列出方程组再求解.] 14,如图，∠1=45"，∠2=45°，∠3=125°.求∠4和∠5. (第14题) 15,如图，DE是过△ALBC的顶点A的直线，并且DE平行于BC. 求∠1+∠2+∠3等于几度. D [提示：利用∠4+∠1+∠5等于180°.] 16.“两直线都与第三直线相交，则它们的同位角相等”，这样说 B12 法对吗？为什么？ (第15题) ·68n ==========第75页========== §1·13两组对应边平行的角 在一个平面内取两点P和Q(图1·92)，并且从这两点向 着相同的方向引射线PA∥QC,PB∥QD.其中∠APB和 ∠CQD就是两组对应边平行 的角。我们来证明这两个角相等. 【证】如图中PA∥QC (已知)， .∠1=∠P (平符线的同位角相等). 又PB∥QD(已知)， 图1.2 .∠1=∠Q(平行线的同位角相等). .∠P=∠Q(等量代入). 如果我们将∠CQD的两边从顶点Q向外延长（图1·93）， 就得到∠EQF=∠CQD(对 顶角)，因而 ∠EQF=∠P. 角P和角Q的两组对应平 行的边的方向相同（图1·89）， 而∠FQE和∠APB的两组 对应平行的边的方向相反（图198). 由此得出：对应边互相平 图1.93 行的两个角，如果从它们的顶点出发，两组对应边的方向都相同或者都相反，这两个角相等. ·69 ==========第76页========== 在图1·93中顶点Q处还有两个角，即∠EQC和∠DQF,· 它们是对顶角因而相等，并且都是∠DQC的补角，因此 ∠EQC+∠DQC=2d, ∠DQF+∠DQC=2d. 但 ∠DQC=∠BPA(前面已证明)， .∠EQC+∠BPA=2d, ∠DQF+∠BPA=2d. 其中∠EQC的一边QC和∠BPA的一边PA方向相 同，而这两角的另一边QE和PB的方向相反. 同样也可以说明，∠DQF和∠BPA的两边中有一边的 方向相同，另一边的方向相反. 由此得出：对应边互相平行的两个角，知果从它的的顶点出发，一组对应边的方向相同，而另一组对应边的方向相反，则这两个角的和等于2d. 例1.已知∠ABC=45°，过∠ABC内一点P作PE∥ AB,PF∥CB,PH⊥AB(图194).求∠FPH. 图1.94 【解】已知PE∥AB,PF∥CB,可知∠EPF和∠ABC 的两组对应边平行且方向都相反，则有∠EPF=∠ABC =45°. 又∠EPH+∠PHB=180°（平行线的同旁内角互补）， .·70·. ==========第77页========== 已知PH⊥AB,可知∠PHB=90°， .∠EPH=180°-∠PHB=180°-90°=90°. 但是 ∠FPH=∠EPH-∠EPF, .∠FPH=90°-45°=45°. 答：∠FPH=45°. 例2.已知两个角的对应边互相平行，并且这两角的差是90°，求这两个角各是几度？ 【解】本例的两角是互为补角.因为两角的对应边互相平行时，或者两角相等，或者两角互补，如果是相等，它们的差是0°，而不是90°，因此断定是互补的.设这两角的度数为心和y,则有 x+y=180, (1) x-y=90. (2) 我们解这方程组，由(1)+(2)，得 2x=270, .·x=135, y=45. 答：这两角各为135°和45°。 习题1·13 1.已知两个角的对应边互相平行，并且这两角的差是50°，求这两个角各是几度？ 2.“如果平面内两个锐角相等，那末它们的对应边互相平行”，你认为这个说法对吗？为什么？ 3.如图，已知P是∠AOB外 的一点，以P为顶点作角使它和 ∠AOB互补，并且使角的边分别与 (第3题) ∠OB的边平行.这样的角能作出几个？ ·21 ==========第78页========== 4.如果两个角的一组边是同向平行的，另一组边是反向平行的，且知这两角的度数之比是5：31，求这两角的度数。 本章提要 1.概念 直线，射线，线段： 圆和圆弧，割线，弦和直径；角，平角，周角，直角，锐角，钝角； 邻角，余角，补角，对顶角，同位角，内错角，同旁内角；两直线的关系：相交，垂直，平行；点和点的距离，直线和点的距离；命题，定理，公理 2.性质 (1)直线的性质：()两点确定一直线；(i)两点间以线段为最短；()两直线相交只有一个交点 (2)圆的性质：等圆或同圆的半径相等， (3)角的性质：(i)平角都相等；(ii)直角都相等；(iii)周角都相等；(v)对顶角相等， (4)垂线的性质：()过一点只能画一直线和已知直线垂直；(i)点到直线的垂线之长为最短， (5)平行线的性质：()过直线外一点只能作一直线平行于已知直线；()平行线的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补. 3.判定定理 (1)如果同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，则这两直线平行. (2)三线平行定理：如果两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行 4.计算和画图 (1)计算：线段和角的和，差，倍，分 (2)画图：利用刻度尺，三角板，曲尺，丁字尺，圆规，分割规，量角 72· ==========第79页========== 器等画图工具来画出：()线段和角的和，差，倍，分的近似作法；()垂，线，平行线，角的平分线（其中角平分线是近似作法）；()圆和圆弧. 复习题一 1.圆是怎样的线，它有端点吗？圆弧呢？ 2.割线、弦和直径与圆的关系中有哪些共同的地方，有哪些区别？3。“相等且互补的角”是什么角？为什么？ 4.钝角一定比锐角大吗？为什么？ 5.两个锐角的和一定小于什么角？为什么？ 6.互为余角的两角都是什么角？为什么？ 7.“三线八角”中的内错角一定相等吗？在怎样的条件下才能相等？ 8.如果“三线八角”中的同旁内角相等且互补，这三条直线有什么央系？ 9.举出本章教材里的三个命题，并且把它们各自的假设和结论写出来？怎样的命题才算定理？ 10.在平面上的两条直线共有三种位置关系，你说是哪三种？ 11、设A,B,C是平面上不在同一直线上的三点，画出一组对顶角， 使它们的角顶过点A,而B,C分别在它们的边上. 12、举几个生活用具的例子是对顶角的. 13.如图中，已知0BL0D,又∠1=∠2，∠3=∠4.证明A,0,B 三点在一条直线上 D B 32 (第13题) [提示：只要证明∠AOE=180°即可.] ,14。证明一组对顶角中，一角的平分线的延长线，必平分另一角. ·73 ==========第80页========== 15.从一只船上测定一个灯塔的方向是北偏西48°，那末从灯塔看这只船是什么方向？ [提示：参考习题17的第9题的方位图.] 灯塔 (第15题) (第16题) 16.垫斜度的时候常用斜垫铁，如图是一块斜垫铁的断面，现在已 知AB∥DC,∠A=45',∠B=90',求∠D和∠C的度数. 17.如图，已知CD∥BA,BCD是一直线.求证： (1)∠1+∠2=∠3+∠4： (2)∠1+∠2+∠5=180°. 2 (第17题) (第18题) 18.如图，已知∠BED=∠1+∠2.求证AB∥CD. [提示过E作补助线EP,使平行于AB.] 19.图同18题，已知AB∥CD.求证∠BED=∠1+∠2. 20.如图，已知∠ABE+∠BBD+∠EDC=360°.求证BA∥DC. [提示：过点丑作补助线EP,并使P∥BA,然后再设法证得 EP DO.] 274。· ==========第81页========== G B D D (第20题) (第23题) 21.图同20题，已知BA∥DC.求证∠ABE+∠BED+∠EDC =4d. 小*22.求证：如果两条平行直线和第三条直线相交，那末它们的一对同位角的平分线互相平行；而它们的一对同旁内角的平分线互相垂直. 23.直线B和CD被直线EF和CH所截，M,R,N,S是它们 的交点，巴知∠4ME=1号4∠4Ns=1g4∠MRs=&.求24 ∠DSH. 3 (第24题) ·5· ==========第82页========== 24.以半圆为基础，照样画出上页下面几个图. 25.在正方形内画圆弧，照样画出下列几个图： (1) (2) , 3 4 (第25题) 376 公 ==========第83页========== 第二章三，角形 三角形和它的内角和 §2·1三角形和它的元素 在算术里我们已经学过，由不在一直线上的三条线段所围成的封闭图形叫做三角形.三角形有三条边和三个角。三角形的边和角都叫做三角形的元素. 三角形是我们经常碰到的图形，如屋架、桥梁、起重机的结构里有三角形，电杆的支架里有三角形（图2·1），竹篮、竹 图2.1 ・7・ ==========第84页========== 匾的编结花纹里也有三角形. 我们用放在三角形顶点的三个大写字母来表示三角形，为了省写“三角形”三字，通常用符号“△”来表示，例如图 2·2的“三角形ABC”可以写成 “△ABC”. 三角形的边，通常用和它所对的角的顶点相同的小写字 图22 母来表示.例如，在图2·2中，BC边对着角A,就用小写字 母a来表示；CA边对着角B,就用小写字母b来表示；同样AB边对着角C,就用小写字母c来表示. 如果延长三角形的任意一边，我们就得到这个三角形的 一个内角的邻补角，这样的角叫做三角形的外角.例如图 23(1)的∠CBP就是△ABC的一个外角，一个三角形的 每一个顶角都有两个邻补角，如图23(2)的∠1和∠2都是 ∠BAC的邻补角，而且∠1=∠2；∠3和∠4是∠ABC的 邻补角，且∠3=∠4；∠5和∠6是∠ACB的邻补角，且∠5 =∠6.也就是说：一个三角形每一个顶角的两旁有2个外角，它有3个顶角，因此共有6个外角， C 图2.3 因为连结两点间的线段是所有连结这两点的线中最短的，而且三角形的任何一边都是一条线段，由此得出下列性 78 ==========第85页========== 质：三角形中任何两边的和都大于第三边，例如，图2·2中， AC+BC>AB. 如果从这个不等式的两边各减去BC(设AB>BC),我 们得到 AC>AB-BC. 由此得出、下列 推论①三角形的任何一边大于其他两边的差. 三角形可以根据边的长短来分类： 三边各不相等的三角形（图2·4），叫做不等边三角形。有两边相等的三角形（图25），叫做等腰三角形. 三边都相等的三角形（图26），叫做等边三角形。 2.4 底 图2.5 图26 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，其他一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底的夹角叫做底角. 我们也可以将等边三角形作为等腰三角形的特例，就是底边和腰相等的等腰三角形 ①由于某一性质的成立，直接推得的结论，通常叫做推论.推论也是定理。 ==========第86页========== 例等腰三角形的周长（三边长度之和）等于38厘米，又 知它的底边是周长的？，求它的题长， 【解】因为这等腰三角形的底边是周长的 因此两腰 之和应等于周长的（1-号) 屡长=381-层)÷2 ≈88×음2=4+2 5 =114=11.4. 10 答：腰长为11.4厘米. 习题21 1.指出下图中有几个三角形，并用字母把它们记出来. 0 (第1题) 2.下列长度的三条线段，你看哪几个是可以构成一个三角形的，.哪几个是不可能构成三角形的，为什么？ (1)5cm,12cm,13cm; (2)3dm,8dm,12dm; (3)2.5m,3.7m,6.1m; (4)4cm,1.7cm,2.3cm (5)1dm,2dm,3.1dm.3。三条线段的长度之比等于 ·80· ==========第87页========== (1)2:3:4; (2)3:4：7; (3)1:2:5; (4)7:10:2; 哪几个可以组成一个三角形？为什么？ 4.等腰三角形一腰的长，至少要大于它底边的多少？为什么？[提示：应用三角形两边之和大于第三边.] 5,已知等腰三角形的周长等于1米，它的底边等于0.4米，求腰的长 6.画出一个等边三角形，使它的各边都等于3厘米（用圆规和直尺）. 7.三角形的周长等于36厘米，它的三边的长度之比是2：3：4，求各边的长 8.等腰三角形的周长等于32毫米，它的腰比底长4毫米.求各边的长. §22三角形的内角和 三角形的角也叫做三角形的内角，三角形的三个内角的和是几度呢？ ·我们用纸剪成一个任意三角形，把其中的两个角剪下来拼到第三个角上去（图27），可以看到，∠3和∠1的外边几乎是一直线，这样我们就找到了命题：三角形的内角和等于2d.由此得出 图27 三角形的内角和定理三角形三个内角的和等于两个直角(180). 下面我们来证明这个定理， 81· ==========第88页========== 已知△ABC(如图2·8). 求证∠A+∠B+∠ACB=2d. 图28 分析要证明三角形三内角的和是2d,我们可以根据上面拼角实验的结果，把BC延长到D,则∠ACB+∠ACD=2d.那么只要能够 证明∠ACD=∠A+∠B就可以了. 【证】延长△ABC的一边BC到D,过C画CE∥BA, 根据平行线的性质，有 ∠B=∠2（平行线的同位角相等）， ∠A=∠1（平行线的内错角相等）. ∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=2d.从定理的证明过程可知 ∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B, 立即可以推出另一条定理，就是 三角形的外角定理三角形的一个外角等于两个不相邻的内角之和.当然大于它的任何一个不相邻内角. 我们从三角形三内角的和等于2d,就可以推知三角形的 三个内角中，至多只能有一个直角或者一个钝角.现在我们又可根据角的大小把三角形分类： 三角形的三个角都是锐角的，叫做锐角三角形（图29）. 三角形中有一个直角的，叫做直角三角形（图2·10）. 三角形中有一个钝角的，叫做饨角三角形（图2·11）。 ·82· ==========第89页========== 斜边 直角边 图29 图2.10 鈍角 图211 在直角三角形中，夹直角的两边都叫做直角边，直角所对的边叫做斜边. 例1.，直角三角形的两个锐角的和是几度？ 【解】因为三角形三个内角的和等于两个直角，面直角 三角形中除了两个锐角外还有一个直角，从此可以算出两个锐角的和等于一个直角.也就是直角三角形的两个锐角互余。 例2.如图212中，AB∥CF,AD与BC相交于E, 图2,12 83· ==========第90页========== CDF是直线，∠B=45°，∠CED=93°.求∠EDF. 【解】已知∠EDF是△ECD的外角，因此 ∠EDF=∠CED+∠C, 又因 AB∥CF, 。 ∠C=∠B=45°. 由题设 ∠CED=93°， ∠EDF=93°+45°=138°. 答：∠EDF=138°. 例3.如图2·13，已知 ∠BED=∠B+∠D.· 求证AB∥CD 分析要证明AB∥CD,先可延长 BB交CD于F,只要能证得∠BFD等 于∠B就可以了，而∠BED是△EFD 的外角，可知 图2.13 ∠BED=∠1+∠D, 从此可以证得∠1=∠B. 【证】延长BE交CD于F,则∠BED是△EFD的 外角，因此 ∠BED=∠1+∠D (三角形的外角等于它的不相邻两内角之和)， 又∠BED=∠B+∠D(已知)， .∠1=∠B, .AB∥CD (内错角相等则两线平行). P 例4，如图214中，ED⊥0A, EF⊥OB. 0 D 求证∠0=∠E. 图214 ·84· ==========第91页========== 分析已知△PEF和△PDO都是直角三角形，要证∠O=∠E, 只要能证得∠1=∠2就可以了，但它们是对顶角，故而相等. 【证】在直角△PEF中∠EFP=90°，从三角形内角 和定理得∠E+∠1=90°，即∠E=90°-∠1. 在直角△PDO中∠PDO=90°， 同理得 ∠0=90°-∠2. 但是 ∠1=∠2（对顶角相等）， .∠0=∠E. 例5.三角形的三个外角之和是几度？已知∠1，∠2和∠3是 △ABC的三个外角（图2·15）. 求∠1，∠2，∠3的和. 【解1】因为∠1，∠2和 ∠3是△ABC的外角，则有 ∠1+∠ABC=2d, -D 3 B ∠2+∠BCA=2d, ∠3+∠CAB=2d. 图2.15 三式相加，得 ∠1+∠2+∠3+∠ABC+∠BCA+∠CAB=6d.但是∠ABC+∠BCA+∠CAB=2d (三角形的三内角之和)， .∠1+∠2+∠3+2d=6d, 即 ∠1+∠2+∠3=4d. 【解2】应用外角等于它不相邻两内角和性质，得 ∠1=∠BAC+∠ACB, ∠2=∠BAC+∠ABC, ∠3=∠ABC+∠ACB. .85· ==========第92页========== 三式相加，得 ∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+∠ACB+∠ABC), 因为 ∠BAC+∠ACB+∠ABC=2d (三角形的三内角之和)， ∠1+∠2+∠3=4d. 答：三角形的三个外角之和等于4d(360). 注意本例所说的三角形的三个外角的和，是指每一个项角的一个外角，即∠1，∠2和∠3.以后称三角形的外角和，就是指这样的三个角的和， 习・題2·2 1.已知△ABC中的∠A=3730',∠B=95.求∠C. 2.在△ABC中，已知∠A+∠B=7418',∠A-∠B=2342'. 求∠A,∠B和∠C. [提示：先从已知条件求出∠A和∠B,再求∠C.] 3.在直角三角形中，已知它的一个锐角等于25，另一个锐角是几度？一个锐角等于30·呢？是45°呢？ 4.如图，∠B=∠C=45°，又AE是外角DAC的平分线.求∠1 和∠2的度数.AE和BC有什么关系？ C445o 459B (第4题) (第8题) 5.在锐角三角形中，最小的锐角能大于60°吗？能等于60°吗？ 6.三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，这是哪一种三角形？ ·86· ==========第93页========== 7.三角形的三个内角度数的比是2：3：4，这是哪一种三角形？[提示：先算出各角的度数，再定它是娜一种三角形.] 8.如图，求证∠1+∠2=∠3+∠4. [提示：延长AD与BC使相交.] 9.如图，求证∠1-∠2=∠3-∠4. [提示：∠1-∠2=∠3-∠4就是∠1+∠4=∠3+∠2.] (第9题) (第10题) *10.如图，已知∠1=27·，∠2=95°，∠3=38°.求∠4.[提示：应用三角形的外角定理.] 11.如图，AE∥BD,∠1=95，∠2=28·.求∠C. D (第11题) 12.三角形的三个外角中最多可有几个钝角？几个直角？几个锐角？[提示：应该与三角形的内角有几个锐角、直角、钝角联系起来想.] §23三角形的主要线段 如果从三角形的任意一个顶点到它的对边作垂线，则顶点至垂足间的线段叫做三角形的高（图216）， ·87· ==========第94页========== 对三角形的任何一边都可以作高.有时三角形的高不和 三角形的边相交，而和边的延长线相交.例如，在图216中， 高EH就和边FD的延长线相交于点H. 高 图2.16 连结三角形的任意一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线（图217）. D 中耧 图2.17 任意一个角的平分线上从角的顶点到对边间的线段，叫做三角形的角平分线（图218）. 角平分機 图2.18 。88· ==========第95页========== 一个三角形有三条高，三条中线和三条角平分线. 习题23 1.画出一个三角形分别画出它的三条中线. 2.,画出一个三角形，分别画出它的三条角平分线. 3.画出一个钝角三角形，分别画出它的三条高. (注意：夹钝角那两条边上的高都画在它们的延长线上.) 4.画出一个直角三角形，画它的三条高，你发现些什么？这三条高的交点在什么地方？ 5.画出等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和高，你发现了什么？ 6.已知等腰三角形的底边长8cm,自底边上的一个顶点引腰的中线，分这三角形的周长成两部分，其中一部分比另一部分长2cm,求腰的长 [提示：本题有两解.] 7.求直角三角形中两个锐角的平分线所夹成的钝角的度数. 8。直角三角形的一个锐角等于，求直角的平分线和斜边所成的 锐角。 等腰三角形 §24轴对称图形 在一张纸上用软铅笔画上一个花纹（图2.19），然后把纸折起来，并且在上面用力摩擦，就可以使花纹印在纸的另一半面上. 把一张纸对折，用小针在上面刺三个小孔，然后把纸摊开(图2·20)，观察各对小孔的位置与折痕有什么关系.连结折 89 ==========第96页========== 图2.19 图2.20 痕同一边的三个小孔，就得到两个三角形。这两个三角形有什么关系？它们和折痕又有什么关系呢？ 象上面所说的，把图形沿着一条直线折过来，在直线两边的图形是完全重合的，这种图形就叫做轴对称图形，这条直线(折痕)叫做对称轴. 图221 ,·0 ==========第97页========== 从土面的事实，我们可以知道轴对称图形的两个重要性质 (1)对称轴垂直并且平分连结两个对称点（如A和A') 的线段（图2·20）. (②)两个轴对称图形可以重合在一起，所以是完全相等 的.如图2,20中的△ABC和△AB'C是完全相等的. 在自然界里，建筑工程和日常用品上常常可以看到轴对称图形。例如，蝴蝶、枫叶、钢架、扇面和天安门图案等等，我,们都可以找到一条直线，沿着这条直线把图形对折起来，直线的两边的图形就完全重合在一起（图2·21）. §25等腰三角形的性质 如果我们画一个等腰三角形，把它折迭起来，使它的两腰重合，再把它 g 摊开（图2·22），研究一下这条折痕与 三角形的其他元素有些什么关系 (1)折痕和两腰所成的两个角怎样？ (2)被折痕分开的底边的两部分怎样？ (3)折痕和底边相交所成的两个 图2.22 角怎样？ (4)等腰三角形的两个底角怎样？ 如果我们根据轴对称图形的性质来研究上述的这些问题，就可以得到下面的性质： 定理1等腰三角形有一条对称轴，对称轴在三角形内部 ·91。 ==========第98页========== 的那条线段，是顶角的平分线，也是底边上的中线和高， 从定理1可知，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高，这三条线段是合而为一的， 定理2等腰三角形的两个底角相等， 要证明定理1和2的正确性，我们只要沿着图2·22的折痕再折迭起来，就可以明显地看到 ∠BAD和∠CAD是完全重合的， 因此 ∠BAD=∠CAD, 所以 AD就是顶角∠BAC的平分线. 又 BD和CD是完全重合的， 因此 BD=CD,所以AD是BC上的中线 又 ∠ADB和∠ADC是完全重合的， 而且 ∠ADB+∠ADC=2d(邻补角)， 因此 ∠ADB=∠ADC=d,所以AD又是BC上的高. 同样，等腰△ABC的两个底角也相等，就是 ∠B=∠C, 我们从上述定理，又可以推出下面的性质 定理3两个有公共底边的等腰三角形，它们的顶点连结线是它们公共的对称轴. 如图2·23中的△ABC和△A'BC的公共的底边是BC, 又AB=AC,A'B=A'C,那末直线AA'就是它们的对称轴。 【证】因为等腰△ABC和等腰△A'BC的对称轴AM 和A'M都经过BC的中点M,而且都垂直BC(定理1)，但是 过BC中点M只能画一条直线垂直于BC,因此可知它们的对 称轴AM和A'M都在直线AA'上，所以直线AA'是它们公 共的对称轴. 注意上面的三条定理很重要，必须彻底理解，它们对于下一节的 ·92· ==========第99页========== 图2.23 作图用处很大， 轴对称图形有两种情形： (1)一个图形本身是一个轴对称图形，例如等腰三角形. (2)两个图形关于一直线为对称的轴对称图形，例如§24的图2.20 不管是上述的那一种轴对称图形，对称轴总是一条直线，而不是一条线段 例1.等边三角形的每一个内角都等于60°. 已知△ABC是一个等边三角形（图2·24）. 求证∠A=∠B=∠C=60°. 分析因为等边三角形是等腰三角形的特例，从等腰三角形的底角相 等的性质，可知∠B=∠C,∠C= ∠A,就是∠A=∠B=∠C.又因三 角形内角和等于180°，所以可证得每 一内角等于60· 【证】因为AB=AC (已知)， 图224 ·93· ==========第100页========== ∴.∠B=∠C(等腰三角形的底角相等)。 ° AB=BC(已知)， 。∠C=∠A(等腰三角形的底角相等). ∴.∠A=∠B=∠C. 但是∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和）， .8∠A=180°，∠A=60°， 也就是∠A=∠B=∠C=60°. 例2.等腰三角形顶角的外角的平分线，平行于它的底边 已知在△ABC中，AB=AC,BAD是一直线，又AE 是∠DAC的平分线（图2·25）. 求证AE∥BC. 分析要证明AE∥BC,只要证 得∠1=∠B(或者∠2=∠C),但已 知AE平分∠DAC,因此∠1=∠2， 文AB=AC,可知∠B=∠C.而 ∠DAC是△ABC的外角，所以有 ∠DAC=∠1+∠2=∠B+∠0，B 从此得出∠1=∠2=∠B=∠0. 图225 【证】AB=AC（已知)， .∠B=∠C(等腰三角形的底角相等). 又∠DAC=∠B+∠C(外角等于不相邻两内角之和)， 但 ∠1=∠2(AE是角平分线)， .∠DAC=2∠1=2∠2=2∠B=2∠C. 就是∠1=∠2=∠B=∠C, ,.AE∥BC(同位角相等，或者内错角相等). 例3，已知等腰三角形的顶角是80°，求一腰上的高与 ·94。 ==========第101页========== 底边所成的角的度数（图2·26）. 已知AB=AC, ∠A=80°， BE⊥AC. 求∠1. 【解】 ∠C=(180°-80)÷2B11 =50°. 图2.26 又在△BEC中，因为BE⊥EC,可知 ∠1=90°-∠C =90°-50° =40°. 答：∠1=40°. 例4.钢板上有两条糟AB和MN(图2·27)，要在槽 MN的一旁锉一条槽，使它和槽 AB关于轴MN对称.把这条槽 画出来。 【解】因为钢板不能折迭，我们可以根据轴对称图形的性质 1,先画出A和B关于MN的对 称点A'和B. 227 就是从点A画AO⊥MN,引长AO至A',使OA'=AO, 那末A'就是A的对称点.同样画出点B的对称点B.再画 出槽A'B'就是了. 例5.在已知直线1的同旁有两点A和B,求在1直线上取一点P, 使AP十PB最短. 已知A,B是直线Z的同旁的两定点（图2·28）。 ·95· ==========第102页========== 图2.28 求作在直线Z上取一点P,使AP+PB最短 【作法】过点A作AM⊥Z,延长AM至A',使A'M=AM,连结 A'B线段，并和直线？相交于点P,连结AP线段.则这个点P就是所 求的点 、【证】从作法可知AM⊥I,AM=MA',因此点A'和A关于直线 、Z对称.点P在直线Z上，所以A'P和AP也关于直线1对称，就有 A'P=AP(对称图形性质2). 因此 AP+PB-AP+PB=AB. 我们来证明AP+PB最短.不妨在直线Z上随便再取一点P',并 连结AP'和BP',只要证得AP'+BP'>AP十PB就可以了. 连结补助线A'P',因为点P'在直线l上，所以有A'P'和AP'是关于直线1对称的线段，于是 A'P'=AP'(对称图形性质2)， 就有 AP'十PB=A'P'+P'B 但是在△A'BP'中， A'P'+P'B>A'B(三角形两边之和大于第三边)， 就是 A'P+P'B-AP+PB (.'AB=AP+PB). 这样，就证明了AP+PB是最短的了. 习题25 1.举出日常生活和生产实际中轴对称图形的例子 ·6· ==========第103页========== 2.把一个水平放置的图形对着一面直立的镜子，在镜子里可以看到怎样的图形？ 3.钢板上有三个眼A、B、C,C 在直线AB的一旁，要在直线AB的另 一旁打一个眼.使它和点C关于直线 AB对称.怎样把这个眼的位置定下 来，并在图上画出 4.用红纸剪一个大“囍”字，怎样 (第3题) 利用轴对称性质把它剪出来？ 5.·以已知直线为轴，画出已知线段的轴对称图形 6.以已知直角三角形斜边所在的直线为对称轴，画出它的轴对称图形. 7.试求下列图形的对称轴：(1)两点；(2)角；(3)线段. 8.一个等边三角形有几条对称轴？ 9.等腰三角形的一底角等于7030'，求它的顶角. 10.等腰三角形的顶角如果是60°，那末它的底角是几度？ 1.等腰三角形一腰与另一腰上的高所成的角比底角小号d,求等腰三角形的各角. 12.通常屋椽AB和AC的长是相等的，如图，它们的夹角分别如 下：(1)铁皮屋顶是120°；(2)沥青纸屋顶是145°；（3)瓦屋顶是100·. 就上面的情况分别求出屋椽与水平线BC所成的角， 小 -E 2 (第12题) (第16题) 13.等腰直角三角形的每-个锐角是几度？ 97。 ==========第104页========== 14.任意画一个等腰三角形，用三角板画出它的顶角平分线，并且说明画图的根据是什么， [提示：利用等腰三角形的性质.] 15.等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？ 16.AB,AC,DE三直线的关系如图，已知AB=AC.求证：（1) ∠1=∠2；·(2)∠DBA=∠A0B [提示：(1)先证明∠ABC=∠ACB;(2)同(1).] 17.如图，AB=AC,EB=C.求证：∠ABD=∠ACD. (第17题) 。(第18题) 18.用~块等腰直角的三角板，在它的底边中点做一个记号M,再 从直角顶点悬下一个铅锤.把这块三角板的底边放在屋梁上，看悬线是 不是经过记号M,就能够检查屋梁的位置是否水平（如图），这是根据 什么道理？ §26等腰三角形性质在作图上的应用 我们在前面儿节里已经学了一些画儿何图形的方法，应用等腰三角形的性质，我们还可以用圆规和直尺来作出几何图形. 1.平分一条线段AB如果我们把线段AB看做是两个 ·98· ==========第105页========== 等腰三角形的公共底边，向两侧各作一个等腰三角形，再连结它们的顶点的线段，那么根据等腰三角形性质定理3，就可以 得到线段AB的平分点 【作法】以A,B为圆心，用大于号ABO的长为半径，分 别画弧，得到两个交点E和F(图2·29). 连结EF,那么EF⊥AB, 并且平分AB,即AM=MB. 象这条直线EF垂直且平分 AB线段，这直线叫做这条线段 的垂直平分线，其中点M是AB 的中点 注意图上的虚线是为了说明画 法，如果只要求线段AB的中点，连 EF直线也不必画出，画出一点M就 可以了. 本题的作法，不仅可以求得线段的中点，还可以求得线段的垂直平分线。 田229 2.平分一已知角A平分一已知角，也就是画出已知角 的角平分线。前面已经学过用量角器或折纸的方法画角的平 分线.现在我们用直尺和圆规来画角的平分线。把已知角A 当作等腰三角形的顶角，它的作法如下： 【作法】以A为圆心，任意长为半径画弧，和角A的两边 AB,AC分别相交于E,F. 再以E和F为圆心，大于E下的一半之长为半径，分别画 如果用小于AB的长为半径分别画班就得不到交点， ==========第106页========== 4 弧，得交点P. 连结AP,则AP 就是要作的∠A的平 分线（图230）. 注意EP=FP,也就 是以E和F为圆心画孤时， 这两个半径必须相等， 图2.30 3.过直线外（或者直线上）的一点，画这直线的垂线我们可以把这点当作等腰三角形的顶点（或者底边上的中点），就可得到下面的作法 【作法】以P为圆心，取一适当的长度为半径画弧，使能 与直线AB交于两点E,F,再以E和F为圆心，大于EF的 一半之长为半径分别画弧，得交点Q, 连结PQ直线，就是所要作的垂线（图231). ■231 注意本节所叙述的作图方法，是只用直尺和圆规这两种工具来完成的作图法，我们称它为尺规作图法.在尺规作图里，可以利用直尺（不用它的刻度)和圆规这两种工具进行下面的简单作图： ·100. ==========第107页========== 1.通过两已知点可画一条直线一用直尺. 2.已知圆心和半径可画一个圆一用圆规. 3.画两已知直线、一已知直线和一已知圆或两已知圆；如果相交，则可求它们的交点一用直尺和圆规 这些简单的作图，可以表示如图2·32 我们约定，用上述的这些简单作图，经过有限次能够作出的图形，叫做尺规作图可能问题.否则就叫做尺规作图不可能问题，但是，在实际生产中的作图，为了省事和减少误差，人们还创造了一些作图的辅助工具，例如有刻度的直尺、三角板、丁字尺、量角器等等 图232 习题26 1.任意画一条线段，用圆规和直尺把它4等分.[提示：二等分后再二等分.] 2.任意画一个三角形，用圆规和直尺画它的三条边的垂直平分线. 3.画一钝角三角形，用圆规和直尺画出它的三条高4。任意画一个角，再把它4等分。 ‘。101.● ==========第108页========== §27等腰三角形的判定 我们已经知道，一个等腰三角形的两个底角是相等的，如果有一个三角形，它有两个角相等，它是不是等腰三角形呢？这就很难说了.因为要判定一个三角形是等腰三角形，必须知道它有两条边相等.为此，我们来研究这 一问题. 画△ABC,使∠B=∠C(图 233),画BC上的高AM,因为 ∠AMB=∠AMC=d,∠B=∠C, B 所以∠MAB=∠MAC(等角的余 图2.33 角相等). 沿着AM把△ABC折迭起来，则∠MAB与∠MAC 重合，∠AMB与∠AMC也重合，那么AB就落在AC上， MB落在MC上，所以点B必然与点C重合（两直线只能相交 于一点).由此可知AB也与AC重合，所以AB=AC. 等腰三角形的判定定理一个三角形如果有两个角相等，那末等角所对的边也相等，它就是等腰三角形. 80 例1，求证：等腰三角形中有一个角是60°，它就是等边三角形 已知△ABC中AB=AC, ∠A=60(图2.34). 求证AB=BC=CA 图234 ·102· ==========第109页========== 分析要证明△ABC是等边三角形，只要证明AB=BC:要证明 AB=BC,只要证明∠C=∠A;也就是证明∠C也等于60°、 【证】.∠A=60°（已知)， 。 ∠C+∠B=180°-60° =120°（三角形内角和）. 又因 AB=AC（已知)， ∴.∠C=∠B(等腰三角形的底角相等)， 就是 2∠C=120°， ..∠C=60°. 由此可知，∠C=∠A, AB=BC(等腰三角形的判定定理)， AB-BC=AC, 就是△ABC是等边三角形， 如果已知等腰三角形的底角是60°，它的证明方法和上面的一样，也可得到同样的结论.希望读者自己来完成这个证明。 例2.求证：含有30°角的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半. 已知直角三角形ABC中，∠A=30°（图235）. 求证BC-AB. 分析要证明B0=是AB,我们 30° 可以延长BC到B'使CB'=BC,再 证明BB'等于AB就可以了 【证】∠BAC=30°，我们 B B 已知∠ACB=90°，延长BC至 C B',使CB′=BC,连结AB。 图235 ·103· 人你候 ==========第110页========== 可知∠ACB′=∠ACB=90(邻补角)，所以沿直线AC 折迭，则点B落在点B',AB与AB'重合， .∠B'=∠B 又因 ∠B=60°(30°的余角)， .∠B′=∠B=60°. 又 ∠BAB'=2∠BAC=30°X2=60°. 所以在△ABB'中， ∠B'=60°=∠BAB', 。BB′=AB(等腰三角形的判定定理). 但是 BC=室aB, :BC=克AB. 也就是证明了30°角所对直角边等于斜边的一半. 注意本例还可以在BA上取BM=BC,再证明MA=BC,同样 可证得结论、希望读者作为练习来证明 例3，已知直角三角形ABC中，∠B=60°，又CD是斜 边AB上的高（图236）.求证AC=2CD. 图236 分析要证明CA=2CD,只要证得CD是直角三角形中对30"角 的直角边就可以了。 ·104· ==========第111页========== 【证】已知△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，又 CD⊥AB, 所以 △ADC也是直角三角形. 又 ∠A=30°（直角三角形的锐角互余）， 。CD-2AC(例2的结论). 就是 AC÷2CD. 例4.设在△ABC中，CF平分∠BCA,过A作FC的 平行线AD交BC的延长线于D(图2·37). 求证△ACD是等腰三角形， ----p 图237 分析要证明△ACD是等腰三角形，只要证得∠CAD=∠D就 可以了. 【证】 CF平分∠BCA(已知)， .∠BCF=∠FCA. 又 AD∥FC,且BCD在一直线上（已知）， ".∠CAD=∠FCA(平行线的内错角相等)， ∠D=∠BCF(平行线的同位角相等)， 因此， ∠CAD=∠D(等于等量的量相等)， 。△ACD是等腰三角形（等腰三角形判定定理）. 例5。一条船以每小时15公里的速度向北航行，上午8 ·105· ==========第112页========== 时到达A处，上午10时到达B处.从A,B望灯塔C,并测得 ∠A=42°，∠NBC=84(图238).求从B到灯塔C的距离. 【解】因为∠NBC是 △ABC的外角， 84° .∠NBC=∠C+∠CAB, 就是 84°=∠C+42°， 计算得，∠C=42°， 。∠CAB=∠C, BC=AB(等腰三角 42° 形判定定理)。 又 AB=15×(10-8) 图2.38 =30, 即 BC=30. 答：从B到灯塔C的距离是30公里. 习题27 1.求证等腰三角形的两底角的平分线和底边构成一个等腰三角形. [提示：只要证得∠1=∠2，就可决定△BOC是等腰三角形了，] (第1题) (第2题) .106。 ==========第113页========== 2.在△ABC中，B=AC,又PQ∥BC,它与两腰分别相交于E, F(如图).求证AB=LF [提示：先证∠1=∠2] 3.如图.如果我们要测量小河两岸B,D之间的距离，只要先测得 ∠ABD=2∠ACD,再量BC的长，就可以得到BD的长，为什么？ [提示：参考例5.] (第3题) 4.不用量角器，用直尺和圆规画出一个等于60的角。[提示：从等边三角形的内角来思考.] 5.要测量树的高度AB,可以应用带有铅锤的等腰直角三角板 DEF,走到K处，使一直角边在铅锤线的位置（也就是与铅锤的那条线 重合)，沿着斜边DB看过去，正好看到树顶点B(如下图).量得AK B (第5题) ●107· ==========第114页========== 的长和测点与地面的距离（眼睛的高度）DK亡6后，就得到树高AB =AK+a,说明所根据的道理. [提示：其中AK=CD,只要说明△BCD是等腰三角形就可以了.] 6.如图.一个屋架AB=7.4m,D是AB的中点，并且DE,BC 都垂直于AC.如果∠HAB=150°，DE,DC和CB的长各几米？为 什么？ D 8 1509 A (第6题) 7.如图.已知AB=AC,∠1=∠2，求证BD=DC, (第7题) 8.已知等腰直角三角形的斜边等于a,求斜边上的高！ 9.在等腰直角三角形中，斜边和斜边上的高之和等于30厘米，求斜边之长 10.在直角三角形ABC中，D是斜边AB上的一点，如果CD =BD.求证(I)CD=AD;(2)CD是斜边上的中线. *11.已知直角三角形的一条直角边等于10厘米，它所对的角为60'，求斜边上的高. *12.三角形的三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16厘米，求最小边的长. ·108· ==========第115页========== 全等三角形 §28全等形 如果要直接比较两条线段、两个角或者其他图形的相等和不等，一般是采用重迭的方法，就是把其中的一个图形移放到另一个图形上去，看它们是否完全重合，如果完全重合，则这两个图形叫做全等形.前面我们研究线段的相等和角的相等都是用的这种方法.工人拿一块样板按在铅皮或钢皮上画下图形，这样裁下来的板就和样板完全一样.成轴对称的两个图形是全等形，因为沿着它们的对称轴折过去是完全重合的， 我们用符号“≌”来表示全等，读作“全等于”，例如图 239中，△ABC和△A'B'C'是全等的，可以写作“△ABC ≌△A'B'C”. 图239 两个全等图形既然能够完全重合，那末它们的对应部分 就一定相等，例如上图中的A和A',B和B,C和C”它们 都是对应的点（重合的点），AB和A'B',BC和B'C',AC和 A'C都是对应的线段（重合的线段)，∠A和∠A',∠B和 。109· ==========第116页========== ∠B',∠C和∠C都是对应角（相重合的角）.所以全等三角 形的对应边相等，对应角也相等. §29三角形全等的判定 要判定两个三角形是否全等，可以把其中一个三角形放在另一个三角形上面，看它们是否完全重合，如果这两个三角形的三个顶点都能够重合，那末它们的各部分都重合了，三角形就全等，但是两个三角形只要有某儿个元素（指三角形的角和边)对应相等时，它们已可以完全重合，也就是可以判定它们全等了.现在要研究的是究竟需要几个元素对应相等，才能够使它们完全重合？让我们来做下面的实验：取硬纸条三根，最长的一根要比另外两根的和短一些，在纸条的两头用针刺一小孔（图240），把纸条的小孔处用线或铁丝穿结起来，便成一个三角形. 这样，三角形的形状和大小就不会改变了。这是三角形待有的性质，通常叫做 三角形的稳定性，这个性质在工业上的用处很大·例如屋架、桥梁的钢架等都是利用三角形的稳定性固定起来的。 如果再取三根和前面相等的硬纸条构成一 图2.40 个三角形，很明显是和图2·40这个三角形是全等的、从实验可知，要两个三角形全等，只要它们的三条边对应相等就可以了。 。110· ==========第117页========== 如果两个三角形只有两条边对应相等，能不能全等呢？我们可以再做下面的实验： 取一定长度的纸条和2，把它们一个头上的小孔穿结起来（图241），很明显，这两根纸条所搭成的图形是不固定的，可以很多.如果我们用虚线表示三角形的第三条边，就可以构成无数个含有两条边对应相等的三角形，但是它们都不全等（除非第三条边也等).这个实验告诉我们，两个三角形如果只有两条边对应相等是不一定全等（多数情 2.41 形是不全等)的. 但是，如果把上面的条件（两边的长一定）再添上规定它们的夹角如∠1的大小（图241），搭出来的图形就固定了.再用虚线表示它的第三边，事实上这第三边的长度也被，2和夹角∠1所规定了.从第二个实验可知，如果两个三角形的两条边和这两边的夹角对应相等，这两个三角形也全等，现在提出二个问题，如果两个三角形有两个角和这两角的夹边对应相等，它们能不能全等？这个问题让读者自己从实验来得出结论. 象上述这种实验方法，对于研究一个新的问题，寻找它的初步结论是很有用处的，但是我们毕竟不可能一一去实验，所以从实验得出的结论的正确性是有限度的、因此三角形金等的判定，还需要经过证明。 .111 ==========第118页========== 1.用三边来判定从前面的实验可以得到： 三角形全等的判定定理1三边对应相等的两个三角形全等， 已知在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B',BC= BC,AC=A'C'(图242). 求证△ADC≌△A'B'C′， C 图2.42 【证】把△A'B'C移到如图中虚线的位置，使两条相等 的边A'B和AB迭合，并且使点C和点C在边AB的两旁， 连结CC. 因为 AC=AC',BC=BC', 所以△ACC'和△BCC是以CC'为公共底边的两个等腰三 角形. 又AB是连结这两个等腰三角形的顶点的线段， 。△ABC和△ABC'是以直线AB为轴的对称图形 (§25定理3). 所以它们是全等的，也就是 △ABC≌△A'BC. ·112 ==========第119页========== 2.用两边和夹角来判定从前面的实验可以得到： 三角形全等的判定定理2两边和夹角对应相等的两个 三角形全等. 已知在△ABC和△A'B'C中，AB=A'B',AC= A'C,∠A=∠A'(图2.43). 求证△ABC≌△A'B'C'. 【证】把△A'BC”移到如图中虚线的位置，使两条相 等的边A'B'和AB迭合，并且使点C和点C在边AB的两 旁. 图2.43 以AB为轴，把△ABC'翻折在△ABC上， ∠BAC=∠BAC,AC=AC', '.点C与点C重合，可知△ABC'完全迭合在△ABC 上，因此△ABC和△ABC'是全等的. 就是 △ABC≌△A'B'C, 3.用两角和夹边来判定我们可以得到： 三角形全等的判定定理3两角和夹边对应相等的两个 三角形全等， 已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B= ∠B,AB=A'B(图2·44). 113・ ==========第120页========== 求证△ABC兰△A'B'C, 图244 【证】把△A'B'C'移到如图中虚线的位置，使两条相 等的边A'B和AB重合，并且使点C和点C在边AB的两 旁 以AB为轴，把△ABC'翻折在△ABC上， ∠BAC=∠B'A'C',∠ABC=∠A'B'C, 也就是∠BAC=∠BAC,∠ABC=∠ABC、 所以AC'落在AC上，BC'落在BC上，但是两条直线 只能有一个交点，可知点C'必落在点C上，因此△ABC和 △ABC'是全等的. 也就是 △ABC≌△A'B'C, 因为三角形的内角和等于180°，所以两个三角形如果有两双角对应相等，则第三双角也相等.因此，从本定理即可推得下面的推论. 推论两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. 例如，在图2·45的△ABC和△A'B'C中，∠B=∠B', ∠C=∠C,AC=A'C”.根据三角形内角和性质可知∠A= ∠A'.这样就等于知道两个三角形有两角和夹边对应相等， ·114… ==========第121页========== 所以 △ABC≌△A'B'C', 图245 注意前面所讲的三条全等三角形的判定定理和一条推论，都是判定三角形全等的根据.我们要判定线段和角的相等，往往从两个三角形全等的对应部分来得出结果. 例1.已知AB=CD,BC=DA(图2·46). 求证△ABC≌△CDA. 分析因为AC是△ABC和△CDA的公共边，所以可利用三边 对应相等来判定它们全等， D B 图2.46 【证】 AB=CD,BC=DA（已知)， 又 AC=AC(公共边)， 。 △ABC≌△CDA(s.s.S.), 注意要证明两个三角形全等，可先在图上相等的线段（边）或相等 的角做同样的“标记”.如图2·46中的AB和CD,BC和DA都画1 条或2条细线来表示它们相等，这样可帮助我们观察图形.其次是分析它们全等的条件，本例是因为公共边这个条件，所以符合三边对应相等 ・115 ==========第122页========== 的两三角形全等的判定定理 我们为了简化叙述起见，用记号“s”表示三角形的边，记号“a”表示 三角形的角，并以“s8s”表示“三边对应相等的两个三角形全等”；以“s.a.”表示“两边和夹角对应相等的两个三角形全等”；以“as.a.”和“.as.”分别表示三角形全等判定定理3和推论 例2.已知直线AD和直线BC相交于O,AO=OD, B0=0C(图2·47). 求证∠A=∠D. 分析要证明∠A=∠D,先要证得△AOB≌△DOC.由题设知 ∠1和∠2是对顶角相等，所以两三角形有两边夹角对应相等而全等. 【证】 A0=0D,B0=OC(已知). 又因 直线AD和直线BC相交于O, ∠1=∠2（对顶角相等）. .△A0B≌△DOC(3.a.8.). ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)， D E 图247 图248 例3，已知∠A=∠D,AC=DF,∠1=∠2（图2.48）. 求证AB=DE. 分析AB和DE是两个三角形的对应边，要证AB=DB,只要证 ·116· ==========第123页========== 期△ABC≌△DEF就可以了.由题设可知∠3=∠4，因为它们是∠1 和∠2的邻补角而相等.从此可证得这两个三角形全等， 【证】 ∠A=∠D,AC=DF(已知)， 又 ∠1=∠2，AD是直线， ∠3=∠4（等角的补角相等）.△ABC≌△DEF(a.s.a.). AB=DE(对应边相等). 例4.等腰三角形的两腰上的中线相等， 已知△ABC中AB=AC,E是AC的中点，F是AB 的中点（图249）. 求证BE=CF. 图249 分析BE和CF分别看作在△BEC和△CFB中，要证明BE =CF,只须证得△BDC≌△CFB,因为这两个三角形有部分重迭，看 起来不清楚，可以象上图那样把它们拆开画在旁边，再把它们已知相等的边和角做同样的标记，就容易看出它们有两边夹角对应相等， 【证】 AB=AC（已知)， .∠ACB=∠ABC, 就是拆图的∠ECB=∠FBC(等腰三角形底角相等). 又因E是AC的中点，F是AB的中点， BC=글AC,FB=글4B, 。117· 孩港 ==========第124页========== 、EG=FB(等量之半也相等)。 又 BC=BC(公共边)， △BEC≌△CFB(s.a.$.). 。B=CF(对应边相等). 这个例题就是证明了等腰三角形两腰上的中线相等。 例5.已知AB∥DC,AD∥BC(图250). 求证AB=CD,AD=CB. D 1 3 B 图250 分析在△ABD和△CDB中，要证明AB=CD,AD=CB,只 须证得两三角形全等就可以了.因为DC∥AB,所以∠1=∠2；AD∥ BC,所以∠3=∠4.又DB是公共边，从此找到了这两个三角形全等 的条件. 【证】因为DC∥AB(已知)， ∠1=∠2（平行线的内错角相等）. AD∥BC(已知)， ∠3=∠4（平行线的内错角相等）. 又 DB=DB（公共边)， △ABD≌△CDB(a.8.a.). AB=CD,AD=CB(对应边相等). 注痣本例的证明里，∠1=∠2是因为AB∥DC,∠3=∠4是因 为AD∥BC,请读者仔细观察，不能弄错. .·118· 心e40 ==========第125页========== 习题29 1.怎样的两个三角形叫做全等三角形？全等三角形的对应角和对应边相等吗？为什么？ 2,写出已学过的三角形全等的判定定理 3.如图.已知AD=DB,∠1=∠2.求证△CAD经△CBD [提示：利用公共边] 4.如图.已知∠1=∠3，∠2=∠4.求证△ABD二△CDB D (第3题) (第4题) 5.如图.已知AB=DC,∠ABC=∠DOB,求证AC=DB. [提示：先没法证明△ABC≌△DCB.] 6.如图.已知AE=AD,∠1=∠2.求证△ABD≌△ACE. [提示：注意公共角.] 龙 D (第5题) (第6题) ·119·, ==========第126页========== 7.如图.已知BC=DF,∠B=∠F,AC∥DB.求证△ABC名 △EFD. 8.如图.已知∠1=∠2，∠ABG=∠CDA.求证AB=CD. [提示：研究∠ABD和∠CDB能否相等.] B B (第7题) (第8题) 9.如图.已知AD=BC,BD=AC,求证△ADB≌ABCA, ∠4=∠3 [提示：要证明∠4=∠3，可先证得∠A=∠B,∠1=∠2，相减两 等式即得.] 10.如图.已知AB=AD,∠1=∠2.求证AC平分∠B0D. D D. (第9题) (第10题) 11.AB和CD是圆的两条直径，连结它们的端点得到两条弦AC 和BD.求证AC=BD, ·120· ==========第127页========== 12.如图.已知AB=AB,BD=CE,求证AD=A0. 分析：要证明AD=AC,只要 证得AD和AC分别是全等三角形的 对应边.选择三角形ABD和AEC, 只要证得它们全等就可以了. 证：在△ABD和△AEC中， AB=AE,BD=EC(已知). B 又在△ABE中，因为AB=AE, 所以有 (第12题) ∠B=∠丑（等腰三角形的底角相等）， △ABD≌△AEC(s.4.s.), AD=AC(对应边相等). 本题如果选△ABC和△ABD来考虑，可得另一证明，请读者自 己来做.] 13.求证等腰三角形的底角平分线相等 14.如图.已知∠B=∠C,BB=CF,AFB和AEC都是直线. 求证BF=CD [提示：要证明BF=CE,可先证得AB=AC,AF=A花，等量相 减后即得.] 15.如图.直线AE和CD相交于B,又AC=D,∠A=∠E. 求证AB=EB,CB=DB. [提示：证明△ABC≌△EBD.] E (第14题) (第15题) 121・ ==========第128页========== 16.如图.已知AB=CD,BC= DA.求证AB∥CD,BC∥AD. 17.线段AC和线段BD互相平 分于O,连结它们的端点.求证AD= BC,AB-DC. (注意：线段AC和BD互相平 分于O,就是它们的交点O是A0的 中点，也是BD的中点.) (第16题) 18.如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.为了 平分一个角，只要将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放 在上面，那末AD就是这个角的平分线.试证明这个事实， B 巧 E 平分角仪 (第18题) (第19题) 19.用曲尺可以平分一个角.如图.先在∠AOB的两边OA和OB 上量出相等的线段OP和OQ,再使尺的两边上有相同刻度的点分别和 P、Q重合，在曲尺直角顶点M处作一记号，经过OM画射线OC,这 样，OC就平分∠AOB.为什么？ 20.测盘池塘两头A,B两点间的距离，我们可以用下面的方法、 122 ==========第129页========== 先在地面上取一点可以直达A和B的C,测量AC和BC的长.再 延长AC到D,使CD=AO;延长BC到B,使CE=BC,连结DE. 这时DE=AB.量出DE的长，就是A,B两点间的距离.为什么？ (第20题) (第21题) 《*21.如图.AB=AC,B是40廷长线上的一点，且有B理=C, 连PB交BC于.求证MF=MB [分析：要求证相等的两条线段MP和E分别在△MFB和C 中，但这两个三角形是不能全等的.为此我们作补助线FD,使它平行 AE,并与BC相交于D,这就构成△FDM和△CM,如果能够证 得△FDM二△CM,MF就等于ME了. 要证明△FDM≌△ECM,只要证得∠1=∠2，∠DFM=∠E, 和FD=C亚.而补助线FD∥AE,所以它们的内错角∠1=∠2， ∠DFM=∠E.又因AB=AC,∴∠B=∠ACB,而∠ACB=∠FDB (平行线的同位角相等)，∴，∠B=∠FD.B,即FD=FB.又已知FB =CE,因此FD=EC.至此△FDM和△ECM可证得全等了. 证明由读者自已完成. 注意：当我们利用全等三角形去证明它们的对应角和对应边相等的时候，如果要求证的线段或角不在两个全等的三角形里，就需要添置补助线，使求证的线段或角是两个全等三角形的对应部分.] *22.要测量A,B间的距离.因为不能接近点A(如图)，可以在AB 线外任意取一点D,在AB的延长线上任取一点E,连结ED和BD,并 ·13.·. ==========第130页========== 且延长BD到G.使DG=BD:延长DD到F,使DF=DD.连结FG, 并延长FG到H,并使H,D,A在一条直线上，那末HG=AB. 试证明这种测量方法的原理， 河流 (第22题) [提示：本题可以先证明△BDE≌△GDF,得对应角∠EBD =∠FGD,从而得∠ABD=∠HGD,再证明△ABD经△HGD.] *23.在等边三角形ABC中，AF=BD=CE(如图). 求证△DEP也是等边三角形 [提示：要证△DBF是等边三角形，即证D=形=FD,只要 证得△AFB,△BDF和△CED全等就可以了.] D 分 (第23题) (第24题) *24.如图.AB=AC,D.B=DC.E是AD延长线上的一点.求 证EB=EC. .:124· ==========第131页========== [提示：先证△ABD≌△ACD,再证△ABE≌△ACE或者 △BDE△CDE.] §2·10直角三角形全等的判定 因为直角三角形中有一个直角，所以从§29所得的结果可以推得： 直角三角形全等判定定理1两条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 事实上，它们有两直角边夹一直角对应相等，根据三角形全等判定定理2，即可证明本定理， 直角三角形全等判定定理2一边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等. 根据三角形全等判定定理3和推论，即可证明本定理，下面我们来研究直角三角形全等的另外一个判定定理，即用斜边和一条直角边来判定. 在直角△ABC和△A'B'C中，∠C和∠C'是直角， AB=A'B',BC=B!C'(图2.51). 把△A'B'C移到图中虚线的位置，使B'C'和BC重 图251 ·.125· ==========第132页========== 合，点A'落在点D的位置. 因为 ∠ACB+∠BCD=90°+90°=180°， 所以A,C,D在一直线上. 又因 AB-A'B'-BD, ∠A=∠D(等腰三角形底角相等). 因此△ACB二△DCB(直角三角形全等判定定理2). 就是 △ACB≌△A'CB'. 由此可以得到： 直角三角形全等判定定理3斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 注意在以后的证明过程中有些显然的理由，我们将不一一叙述，祖是主要的理由，则仍注明 我们可以应用上述定理来判定两直角三角形的全等，从而证明它们的对应边或对应角相等. 例1.等腰三角形两腰上的高相等. 已知在△ABC中，AB=AC,BE⊥AC,CF⊥AB (图2.52). 求证BE=CF. 图252 12.53 ·126◆ ==========第133页========== 分析要证明BD=CF,只要证得△ABE≌△ACF就可以了. 【证】BE⊥AC,CF⊥AB,在直角三角形ABE和 ACF中， AB=AC，∠A=∠A, 。△ABE二△ACF(斜边和一锐角对应相等). BE=CF(全等三角形的对应边相等). 例2.如图253.为测河宽AB,先在河边画线段BB', 使BB⊥AB.取BB′的中点M,再从B画B'A'⊥BB',并 使A',M,A在一条直线上.则A'B′的长就是河宽.为什 么？ 【解】因为在两个直角三角形MBA和MBA'中，有锐 、角∠1=∠2（对顶角），MB=MB',所以它们是全等的.因此 对应边 A'B'-AB. 例3.·在△ABC中，已知∠B=2∠A,AB=2CB(图 2.54). 求证∠C是直角. 分析要证明∠C是直角，有两个想法： (1)证明∠A+∠B=90"；(2)证明∠C和一直 角相等.根据本例的条件采用(2)较好，过点B 作BE等分∠B,并与AC相交于B.因为已知 ∠B=2∠A,即∠EBA=∠A,可知BE=AE. 再过B作等腰△AEB底边上的高EM,则有 MB=MA.但是已知AB=2CB,∴.MB=CB. 至此即可证得△BME经△BCE.因此可证得 ∠C=∠EMB=90°. 证明由读者自己完成。 图254 027.2 ==========第134页========== 习题2：10 1.如果三角形的一条高平分底边，那末这个三角形是等腰三角形. 2.如果三角形ABC的两条高B形，CF相等，则△ABC是等腰三 角形(AB=AC). [提示：证明△ALBE≌△ACF.] 3.如图.OP平分∠AOB,C是OP上任一点.过C作MN⊥OP, 与OA,OB分别相交于M,N.求证CM=CN. [提示：证明△OMC≌△ONC.] M (第3题) (第4题) 4.如图.在∠AOB的两边上取OP=O2,用三角板从P和Q分 别画OA和OB的垂线，这两条垂线相交于C.连结OC,那末OC是 ∠AOB的平分线，为什么？ [提示：因为△OPC≌△020.] 5.如图.M是∠AOB的平分线上的一点，MC⊥.OA,MD⊥OB, C和D是垂足.求证∠MCD=∠MDC. [提示：要证∠MCD=∠MDC,可先证MC=MD.这可由 △MCO空△MDO而得.] 6.如图.已知AM=MC,CD⊥BM,A⊥BM.求证CD -AE. ◆128· ==========第135页========== 0 (第5题) (第6题) 7.如图.已知AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC.求 证DE=DF, [提示：可证△ADE≌△ADF或者△DEB≌△DFC而得，] 8.如图.已知E和F在直线AB上，又AB=FB,CEL AB, DF⊥AB,BC∥AD.求证CE=DF. [提示：先证AF=BB.] D (第7题) (第8题) 9.如图.要测量池宽AB,可以从点A定直线AC,使AC1AB 再从点C观测，求BA的延长线上一点B,使∠ACB'=∠ACB.那 末AB的长就是池宽.为什么？ 10.如果三角形的一条中线垂直于它的底边，那末这个三角形是等腰三角形。 ·129 ==========第136页========== B (第9题) (第11题) *11.如图.CB⊥AE,AB=CB,BF=BE,AFH是一直线.求 证AH⊥C [提示：要证明AHLCE,只要证得∠CHF=90',在△CHF和 △FAB中，已知对顶角∠AFB =∠CFH,如果能证得∠C =∠A,那末它们的第三个角 ∠CHF和∠AB?也相等，但因 R ∠ABF=90°，可知∠CHF= 90.] *12。自等腰三角形顶点向两 (第12题) 底角的平分线所引的垂线相等， [提示：证明AABR≌△ACS,] §211三角形作图 我们在§26里已学过用直尺和圆规画已知线段的垂直平分线，已知角的平分线，以及过一已知点画已知直线的垂线.我们学了全等三角形以后，就能够画一个角，使它等于已知的角、 .130。 ==========第137页========== 在图2·55中，∠A0B是已知的角。 求作一个角等于∠AOB. D 、D 图2.55 【作法】(1)画射线O'A'. (2)分别用0和O'为圆心，相同的长做半径画两条弧， 得交点C,D和C. (3)用C'为圆心，CD的长为半径画弧，得交点D'. (4)连结O'D'.∠A'O'B'就是所要画的角. 【证】连结CD和C'D',得△OCD和△O'CD'. 由作图过程知道： OC-0'C',OD=0'D',CD=CD', .△0CD≌△O'CD'(s.8.8.). .∠0=∠0'（对应角）. 下面我们来讨论三角形的基本作图。 1.已知三边作三角形，在图2.56中，线段a,b,c是已知的。 b 图256 ·131 ==========第138页========== 求作一个三角形，使它的各边分别等于线段a,b,c. 【作法】(1)画射线CP,以C为圆心，a之长为半径画孤，在CP上截CB=a. (2)以C为圆心，b之长为半径画弧，再以B为圆心，c之 长为半径画弧，使与前弧相交于A. (3)连结CA和AB,得△CBA就是所要作的三角形. 【证】由作图过程知道： CB=a,CA=6,BA=c. 注意所设，b,c三边中，任何两边之和要大于第三边，否则三角形作不出. 2.已知两边和夹角作三角形在图2.57中，线段b,c 和角A是已知的. 求作一个三角形，使它的两边等于b,c,并使这两边 的夹角等于∠A. 图2.57 【作法】(1)画线段AC,使AC=b· (2)作∠B'AC,使等于已知角∠A· (3)以A为圆心，c之长为半径在AB'上截得AB=c. (4)连结BC,得△ACB就是所要作的三角形。 证明由读者自行完成， 。132· ==========第139页========== 3.已知两角和它们的夹边作三角形我们可以用类似的方法画出所求的三角形. 上述的三种作三角形的方法，叫做三角形的基本作图.利用它们可以解决其他一些简单的三角形作图题. 例1，已知斜边和一条直角边，求作直角三角形.在图258中，线段c和a是已知的. 求作一个直角三角形，使它的斜边等于c,一直角边等于a 图2.58 【作法】(1)画直线1，在上任取一点C.过点C作， 的垂线，并在垂线上截取CB=a (2)以B为圆心，c之长为半径画弧，使与1相交于A. (3)连结AB,直角三角形ACB就是要作的三角形. 【证】略. 注意如果斜边c小于或等于直角边a,三角形就画不出来。例2.已知等腰三角形的顶角和底边，求作这个三角形.在图259中，∠A'和线段a是已知的. 求作一等腰三角形，使它的顶角等于∠A',底边等于. 分析已知求作的等腰三角形的顶角'，则底角是(180°一∠A') ÷2,所以底角可作出.再根据两底角和所夹的底边，我们就可作出这个等腰三角形。 .·133。 ==========第140页========== 图2.59 【作法】(1)作∠D它F=∠A',并延长FE至G,再作 EP等分∠DEG,得∠1=∠2.则∠1=∠2=(180°-∠A) ÷2. (2)画BC=a.以BC为边，分别以B和C为顶点在同 侧作∠ABC=∠ACB=∠1.这两个角的另两条边相交于A. △ABC就是所求作的等腰三角形 【证】由作图可知BC=a,∠B=∠C=∠1， 而∠BAC=180°-2∠1（三角形内角和性质及等腰三 角形底角相等). 但是 ∠A'=180°-∠1-∠2（作图）， 又 ∠1=∠2， .·∠A'=180°-2∠1. ,∠BAC=∠A'. 这就证明了△ABC是所要 作的等腰三角形， 例3.已知三角形的两条边和其中一边上中线之长。求作这个三角形. 如图2·61，已知a,b和m,① 图260 ①一般用“m”代表中线，‘m6”即代表b边上的中线. 。134· ==========第141页========== 求作一个三角形，使它的两边等于a和b,又b边上的中线等于m,. 分析先画一草图，△A'B'C'作为求作的三角形已经画好（图 260).则有BC'=a,A'C'=b.设M'是A'C'的中点，则BM'=m6.而M'C'=多.从此可看出，有阴影的△BM'0'已知三条边可作 2 出，然后再作出所求作的三角形ABC, b 【作法】(1)以a,和m6为边画△BMC(图261). (2)延长CM至A,使MA=CM. (3)连结BA,△ABC即为所求作的三角形. 'b B 图261 【证】由作法可知 BC=a,BM=mo;CM=MA=2, ·.CA=CM+MA=名+名=b. 2+ 注意已知的线段4，名，m,中，任两段之和大于第三段时 ·135· ==========第142页========== △BMO方可作出，否则就作不出，从而本例的作图也不能作出. 这里在分析中是先画了一张草图，草图是提供分析探求作图方法之用的，因此画草图一般是不必严格依照条件的.草图的重要之点是指明图中哪些线段已知，哪些角已知，以便利探求作图的方法。读者利用草图分析作法时，最好用彩色铅笔把已知的线段和角涂上彩色记号，这样就会更容易帮助我们发现可以先作出的三角形，从而作出所求的三角形 解一个作图题一般有下面的一些步骤： (1)已知条件：应当把已知的线段或角画在左上角，并且用字母标明. (2)求作的图形：应当说明是那些边和角所构成的图形. (3)画草图分析：探求作图的方法. (4)作法：要清楚扼要地叙述作法 (5)证明：证明所作出的图形是符合条件和要求的.解一个作图题，其中(1)，(2)，(4)，(5)这四步不能缺一，3)分析很重要，但可以在草稿纸上做，不写进去.有的作图题由于所给条件不合适，因此求作的图形就作不出来。我们用“注意”加以指明. 习题2：11 1.用题规和直尺，作一个角等于已知两个角的和， 2.用圆规和直尺，作一个角等于已知角（钝角）的补角的余角. 3.作出一个三角形ABC,使 (1)∠A=40°，∠B=65°，AB=4cm; (2)∠B=35°，∠C=75',AC=3.5cm. 4.作出等腰三角形，使 （1)底角等于36°，底边等于5厘米； (2)顶角等于100°，底边等于5.5厘米： (3)底角等于70°，底边等于3厘米 ・136 ==========第143页========== 、·5.已知一腰和顶角，求作等腰三角形 [已知：线段b,∠A. 求作：一等腰三角形，使它的腰等于b,顶角等于∠A 分析：已知求作的等腰三角形的一腰之长为b,则另一腰也等于b,又已知它的顶角等于∠A,这就是已知两边和夹角，所以这个三角形可作 作法：作角BAC等于已知角A,截取AB=AC=b.连结BC,则 △ABC即为所求作的等腰三角形. (第5题) 证：由作法得AB=AC=b,∠BAC=∠A.所以△ABC是所求的.] 6。巴知一边，求作等边三角形. [提示：和已知三边求作一三角形的作法相同.] 7。已知一个锐角和这个锐角相邻的直角边，求作这直角三角形.[提示：实际上，本题就是已知两角和夹边，求作这三角形.]8。已知一腰和底边上的高，求作这等腰三角形 [提示：先画出腰和高所组成的直角三角形，然后再画出所求的等腰三角形.] 9.已知一条直角边，求作等腰直角三角形*10,已知一边和这边上的中线和高，作三角形. [提示：先画草图进行分析作图方法，注意草图中的由中线和高所组成的直角三角形可先作出.] ,*11,已知两个角和第三个角的平分线之长，作三角形. 137・ ==========第144页========== [提示：注意第三个角的平分线分原三角形所成的两个三角形中，是否可先画出一个.] *12.已知一角，这角的对边和另一边上的高.求作这三角形[提示：先画草图如下，再观察图中有哪一个三角形可先画出.] (第12题) 三角形的边角关系 S2·12在同一个三角形内的边角关系 我们已经知道，在，个三角形中，两条相等的边所对的角也相等（就是等腰三角形的底角相等）. 现在我们来证明，在一个三角形内，大边所对的角较大， 已知△ABC中，AB>BC (图262). 求证-∠C>∠A, 【证】因为AB>BC,可在 AB上取一点D,使BD=BC. 连DC,则等腰三角形BDC中底 角∠1=∠2.但∠ACB>∠1， 所以∠ACB>∠2.而∠2是 图262 138・ ==========第145页========== △DAC的外角，由此可知∠2>∠A,从此即可证得∠C> ∠A. 也就是证明了， 在一个三角形内，大边所对的角较大 我们已经知道，在一个三角形中，两个相等的角所对的边也相等（§27等腰三角形的判定定理）.如果两角不相等，它们的对边大小怎样呢？下面来讨论这一问题.在一个三角形内，大角所对的边较大. 已知在△ABC中，∠A>∠B(图2·63)、 求证BC>AC. 【证】BC和AC两边 的关系只能有下面举出的三种情况中的一种成立： (1)BCAC. 我们分别讨论如下： 如果边BC∠B 的条件矛盾.所以BC不能小于AC. 如果边BC=AC,那末∠B=∠A.这也与已知∠A> ∠B的条仲矛盾.所以BC也不能等于AC。 从而推知，只有关系(3)的一种成立.就是 BC>AC. 至此，已证明了在一个三角形内，大角所对的边较大 本定理的证明方法是先列举BC和AC所有的大小关系， 就是前面举出的这三种关系：BC 。139· ==========第146页========== AC,而我们要证明的是关系(3)，因此只要证明关系(1)和(2) 都不成立，那么关系(3)就一定成立了.象这样的否定结论的反面，从而得出结论的成立的证法，叫做反证法.但是本定理的结论的反面不止一个，因此又必须将结论的反面列举穷尽，然后再一个一个地去否定它们，从而得出结论成立，这种证明又叫做穷举法. 在§1·12里证明平行线性质定理1所采用的反证法，由于它结论的反面只有一个（即∠1卡+∠2），所以只须否定它结论的一个反面就可以了.象这种反证法又叫做归泽法，也就是说，反证法有两种： [归谬法一当结论的反面只有一个时采用的方法， 反证法穷举法一当结论的反面不止一个时采用的方法· 例1.直角三角形中斜边最大· 【证】因为直角三角形中直角最大，所以直角所对的斜边大于它的任一条直角边（在一个三角形内，大角对大边）. 例2.在△ABC中，已知AD⊥BC,BD>DC《图2.64). 求证AB>AC. 分析在△ABC中，要证 明AB>AC,只要证得∠C> ∠B.为了比较∠B和∠C,可 以把△ADC沿AD翻折过去. 由于题设条件，则点C落在BD 上的点C'.又∠1是△ACB的 外角，因此∠1>∠B.但∠1=B ∠C,故可证得∠C>∠B 图264 【证】因为AD⊥BC,BD>DC.把△ADC沿AD翻 折到图上ADC'的位置，则C必在BD上· ∠1是△AC'B的外角，'.∠1>∠B. ·140·. ==========第147页========== 但是 ∠1=∠C, 因此 ∠C>∠B. AB>AC(一个三角形内大角对大边)， 习题2：12 1.在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，试比较三边的大小， 2.在△ABC中，BC>AB>AC,试比较三个角的大小. 3.已知等腰三角形的顶角等于 (1)76,(2)54°，比较腰和底的大小. 4.如图.∠2>∠1.求证B0> BA. [提示：先证明 ∠BAC>∠BCA.] 5.在钝角三角形中，哪一条边最 (第4题) 大？ 6.求证，直角三角形中，任一直角边上的中线小于斜边。 7.如图.△ABC中，AB=AC,ACE是一直线.求证∠DE> ∠AED. [提示：证明AE>AD.] 形 (第7题) (第8题) ·14组。 ==========第148页========== 8,如图，三角形的两边不等，则第三边上的中线和大边所夹的角小于中线和小边所夹的角. [提示：延长AM至形，使ME=AM,连结EC、先证明△MEO 兰△MAB,再证明△ABC中的EC> AC.] 9.在△ABC中，如果AB>AC, D是AC上的一点.求证DB>DC. 10.如图.△AB0中∠A的平分 线交BC于D,且ALB>AC,求证 BD>CD. B [提示：延长AC至D,使AE= AB,连结DE.再在△DC.B中比较 D和DO就能得到证明.] (第10题) §2•13两对边对应相等的两个 三角形的边角关系 我们已经知道，两边和它的夹角对应相等的两个三角形是全等的.，因此在两个三角形中，如果有两边和夹角对应相等，那末它们的第三边也对应相等。但是，如果它们有两双边对应相等而夹角不等，那末它们的第三边又如何呢？ 下面我们来讨论这个问题： 如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应相等，而它们的夹角不等，那末第三边也不等，并且夹角大的第 三边较大. 已知△ABC和△A'B'C'.其中AB=A'B',AC= A'C,并且∠A>∠A(图2·65). 求证BC>BC, 142 ==========第149页========== B B B 图265 【证】把△ACB移到△A'B'C”上虚线的位置，使等边 AC和A'C迭合，并使B和B′点落在A'C'的同旁 因为∠A<∠A',所以A'B边落在∠A'的内部 画∠B′A'B的平分线A'M,交B'C于M.连结MB, 在△A'B'M和△A'BM中，因为 A'B'=A'B,∠1=∠2，A'M=A'M. .△A'B'M≌△A'BM(s.a.s.). :MB'=MB. 又在△MBC'中， CM+MB>BC'(三角形的两边之和大于第三边)， 也就是 C'M+MB'>BC, B'C>BC, 但是 BC=BC, B'C>BC. 注意本例在证明中移图时，点B落在△A'B'C'形外，有时点B 可能落在△A'B'C'形内，或者正好落在B'C边上，这时定理还是正 确的.读者可试行证明这两种情形 如果，个三角形的两边与另，个三角形的两边对应相 ·143. ==========第150页========== 等，而第三边不等，那末对应两等边的夹角也不等，并且第三边大的夹角较大， 已知△ABC和△A'B'C中，AB=A'B',AC=AC'. 并且B'C>BC(图2.66). 求证∠A'>∠A, 图266 【证】∠A'和∠A的关系只能有下面三种情况的一种 成立：(1)∠A'<∠A;(2)∠A'=∠A;(3)∠A'>∠A. 如果∠A'<∠A,而A'B=AB,A'C=AC,根据上面 的结论，B'C”就要小于BC,这与假设B'C>BC矛盾，所以 ∠A'不能小于∠A. 如果∠A'=∠A,那末这两个三角形全等，BC'=BC, 这与假设B'C>BC也矛盾.所 以∠A'不能等于∠A. 因而只有∠A'>∠A成立. D 例已知0A,OB,OC,OD 0 都是圆O的半径，又弦CD>AB (图267). 求证∠1>∠2. 【证】在△OCD及△OAB 中，OA=OC,OB=OD(同圆的 图267 ・144 ==========第151页========== 半径). 又CD>AB, '.∠1>∠2（两边对应相等的两三角形，第三边大的 夹角较大). 习题2·13 1.用圆规画圆，把圆规两脚的夹角张得大一些，半径就大；夹角小 一些，半径就小，这是什么道理？ 2.海岸上的一个测点A和海岛B,C的距离相等.在海面上发现 目标P,测得∠BAP=46°，∠PAC=25°，目标P离哪个岛较近？ A (第2题) (第4题) 3.已知D是等腰三角形ABO的底边BC上的一点，∠BAD> ∠CAD.求证BD>DO 4.如图.已知AD=BC,∠A>∠B.求证BD>AC. [提示：注意△ABD和△BAC间的关系.] 5.在△ABC中，如果∠C>∠B,AM是BC上的中线.求证∠ AMB>∠AMO. [提示：先证得AB>AC,再注意两个三角形AMB和AMC间 的关系.] *.在△4BC中，如果∠C>∠B,E是中线AM上的任意一点. 145・ ==========第152页========== 求证∠BCB>∠BBC, [提示：注意△MB和△EMC间的关系，得出B>C.] 基本轨迹 §2·14线段的垂直平分线的性质 我们已经学会了画已知线段的垂直平分线。但是这条垂直平分线具有什么性质呢？下面就来讨论这个问题.定理1在线段的垂直平分线上的任意点，同这条线段的两端距离相等. 已知MN是线段AB的垂 直平分线P是MN上的任意一点 (图2.68). 求证PA=PB、 分析·要证明PA=PB.只要证 明它们是直角三角形PAD和PBD 图268 的对应边就可以了、 【证】在△PAD和△PBD中， PD-PD, ∠PDA=∠PDB=90°， AD=DB. '。△PAD二△PBD(两直角边对应相等的两直角 三角形全等). 。PA=PB. 注意本定理虽然只证明一点P和A,B等距离，但是应当知道P ·146◆ ==========第153页========== 是MN上取的任意一点，这样，就证明了MN上的一切点都和A,B 是等距离的 定理2和一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上. 已知线段AB和点P,并且有PA=PB(图269). 求证点P在线段AB的垂直平分线上， 分析要证明点P在线段AB的 垂直平分线上，只要先过点P作AB 的垂线MN,再证明MN和B的交 点D是线段AB的中点就可以了. 【证】过点P作MN⊥AB, MN和AB相交于点D,在 D △PDA和△PDB中： PA-PB,PD-PD, ∠PDA=∠PDB=d, 图26的 .△PDA2△PDB (斜边和直角边对应相等的两直角三角形全等). 、.AD=DB. 因此，MN就是线段AB的垂直平分线，也就是点P在线 段AB的垂直平分线MN上.· 定理1和2究竟告诉我们些什么呢？我们学习了这两条定理之后，得到些什么？如果仔细地想一下就不难知道，和两个已知点的距离相等的点，在连结这两点的线段的垂直平分线上·我们注意到这两个定理的条件和结论正好是互相对调而组成的。我们不妨作一个对比。 [定理1]条件：P是线段AB的垂直平分线MN上的 任意一点. 结论：点P和线段AB的两端距离相等、 ·147· ==========第154页========== [定理2]条件：点P和线段AB的两端距离相等. 结论：点P在线段AB的垂直平分线MN上. 象这样的两个命题，也就是它们的条件和结论正好是对调的，我们称它们互为逆命题.又这两个命题都经过证明是正确的，所以又可称它们互为逆定理.一般的把定理1称为原命题（如果已证明可称原定理），而把定理2称为定理1的逆命题（如果已证明可称逆定理）.象这样有互逆关系的命题(证明后称定理)，在前面我们已经学习过了.例如： [原定理]“一三角形内，等边对等角”，即等腰三角形性质定理 [逆定理]“一三角形内，等角对等边”，即等腰三角形判定定理 在这里必须特别指出，一个原命题成立，它的逆命题是不 一定成立的.例如： [原命题]“对顶角相等”是成立的， [逆命题]“相等的角一定是对顶角”却不成立. 例1，在铁路线的同旁有A和B两个工厂，要在铁路线 旁修建一个仓库，使与A，B两广的距离相等，仓库应该修建 在哪里？画出仓库的位置（图270）. 【作法】连AB线段，再作AB的垂直平分线MN.只 要MN与铁路线不平行，那末它们的交点P就是修建仓库的 地方， 因为线段的垂直平分线上各点都和线段的两端的距离相 等，既然点P在MN上，所以 PA-PB 例2.在一块三角形场地上装一盏灯.要使这盏灯和三个角顶一样远，这盏灯应该装在什么地方？ ・148 ==========第155页========== M 铁路视 图270 图271 【作法】如图2.71，△ABC表示三角形场地. 作AB的垂直平分线MN,AC的垂直平分线EF.MN 和EF的交点O就是装灯的位置. 【证】O在MN上， 0A=0B. 又，O在EF上，.OA=OC. 所以 OA=0B-0C. §2•15角的平分线的性质 我们已经学会了画一个角的平分线，但是角的平分线有什么性质呢？下面来讨论这个问题. 定理1在一个角的平分线上的任意点，和这个角的两边距离相等. 已知P是∠AOB的平分线OC上的任意点，PB⊥ 0A,PF⊥0B(图2.72(1). ·149◆ ==========第156页========== 求证PE=PF, (1) (2) 图272 【证】，在△POE和△POF中， .∠PE0=∠PF0=90°， PO=PO, ∠P0E=∠POF(OC是角的平分线). ·.△POE≌△POF(两直角三角形的斜边和一锐角 对应相等)， PE=PF. 定理2和一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上· 已知∠AOB和点P,PE⊥OA,PF⊥OB,且PE= PF(图2.72(2). 求证点P在∠AOB的平 分线上，也就是证明∠POE= ∠P0F. 请读者自已证明， 注意点到直线的距离，是点到这直线的垂线的长.如图2·？2中的点 P到OA,OB的距离，就是P至OA, 图273 ·150· ==========第157页========== OB的垂线P和PF的长.在图2·73中，过点P垂直于OC的直线 与OA,OB相交于点B,F,PE和PF都是点P和点E到OC的距 离，切勿把它错认为点P到OA,OB的距离， 我们学习了上面这两个定理以后，知道了要求和一个角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上， 例1.在△ABC中，O是∠A和∠B的平分线的交点 (图2.74) 求证点O与△ABC 的各边的距离相等. 【证】OA等分∠A, 0 OB等分∠B.过O作OF⊥ AB,OD⊥BC,OE⊥AC. OF-OE (O在A0上)， 图274 OF=OD(O在B0上). ∴.OF=0E=OD 也就是点O与△ABC各边的距离相等， 例2。在已知直线?上求一点，使与另两 相交直线AB,CD的距 离相等， 【作法】如图2.75. 作∠COB的平分线OP 交直线于P,作∠BOD 的平分线OQ交直线1 于Q.那末P和Q两点 既在L上，又在AB和 图2.75 。151◆ ==========第158页========== CD相交所成角的平分线上，所以P和Q都与AB,CD的距 离相等。 §216点的轨迹 我们在作图的时候，通常要求出一点或几点来满足作图的要求，而这些点都具有某种性质， 例如，上节的例2求一点P:(1)要在直线1上；(2)点P 到AB和CD的距离相等.这里的(1)和(2)都是点P的性 质， 这一类作图题的解法，差不多都和求具有某种性质的一些点是分不开的. 具有相同性质的所有点的集合，叫做点的轨迹，下面举出最简单的点的轨迹： 1.圆圆上所有的点都具有相同的性质，就是，它们和圆的圆心的距离都相等.这个距离等于这圆的半径.平面上不在已知圆上的任何一点都不具有这种性质，从圆心到已知圆内（或圆外）任何一点的距离都小于（或大于）这圆的半径.在图2·76中，假设圆 O的半径为R,A是圆O内的任 意一点，则有 OAR. 至此，我们已证明了不在圆 图2.76 ·152· ==========第159页========== 上的任何一点，它与圆心的距离都不等于￥径.也就是说，与圆心的距离等于半径的一切点都在圆上。从此得出：平面内和一个定点的距离相等的点的轨迹是一个圆， 2.线段的垂直平分线在§2.14里我们已经学习了线段的垂直平分线的性质（定理1和2），我们从定理1可知，线段的垂直平分线上任一点，都具有和线段的两端等距离的性质，从定理2可知，和线段两端等距离的一切点，都在线段的垂直平分线上·从此得出： 线段的垂直平分线是和这线段的两端距离相等的点的轨迹. 3.角的平分线在§215里我们已经学习了角的平分线的性质（定理1和2）.从定理1可知，角的平分线上任一点，都具有和角的两边等距离的性质.从定理2可知，和角的两边等距离的一切点都在角的平分线上、从此得出：角的平分线是和这角的两边距离相等的点的轨迹.轨迹命题的证明和一般命题的证明是不同的，要证明一个轨迹命题，必须两方面来证明： (1)图形上的任何一点都具有某种性质（纯粹性）. (2)具有某种性质的点都在这个图形上（完备性）、只有经过两方面证明后才能保证轨迹上的一切点都合乎条件，也就是没有不合乎条件的点（纯粹性）；反过来，满足所设条件的一切点都在这个轨迹上，也就是没有遗漏（完备性）。 例1.已知点O与已知直线MN的距离为2.2厘米，在 直线MN上求一点，使它和已知点O的距离等于2.5厘米. 【解】如图277.点O与直线MN的距离为2.2厘米. 以点O为圆心，2.5厘米之长为半径画圆，和直线MN相 交于P1和P2·P1和P2就是所求的点。 ·153.' ==========第160页========== 9 3.5cm 图277 因为P1和P2都在圆O上，所以P1O和PO都等于圆的 半径2.5厘米， 例2，求具有公共底边的等腰三角形顶点的轨迹 【解】如图2.78.△A1BC, △ABC,△A3BC,…是具有公 共底边BC的一群等腰三角形， 求点A1,A2,A3,…的轨迹. 因为△A1BC，△ABC, △A3BC，…都是等腰三角形，所 以每个三角形的两边都相等，即 A1B=A1C,A2B=A2C,…. 可知，具有公共底边BC的一群 等腰三角形的顶点的轨迹是BC 的垂直平分线PQ. 注意例1是利用基本轨迹（圆） 图2.78 求交点的问题.例2是一个轨迹题， 它的解法是先把问题归结到一个基本轨迹（线段的垂直平分线)，然后利用基本轨迹定理得出轨迹.象这种归结到基本轨迹来解的轨迹题，它的纯粹性和完备性在基本轨迹里已经考虑到了，所以就不必再分纯粹性和完备性来证明了。 .·154· ==========第161页========== 习题216 1.C和D是线段AB的垂直平分线上的两个点，求证∠CD =∠CBD [提示：本题的C和D的位置有两种情形：(1)C和D在AB的同 旁：(2)C和D在AB的两旁.] 】2.在△ABC中，BD是AC上的中线，在BD上求一点，使这点 与顶点B和C的距离相等. 3.设M是∠AOB的平分线OS上的一点，MCLOA,MDL.0B, C,D是垂足，P是OS上的另一点.求证PC=PD 4.在和已知角AOB两边相交的直线MN上求一点，使与这角的 两边等距离。 5.在△ABC中，AD是BC上的高，在AD上求一点，使这点与 边AC和BC的距离相等. 6.说明并且画出下列点的轨迹： （(1)和定点A的距离等于3厘米的点的轨迹： (2)到4厘米长的定线段（位置和长度都一定的线段）两端距离相等的点的轨迹； (3)到一个等于60°的定角两边距离相等的点的轨迹 7.已知两定点的距离为29毫米，求一点使它和其中一点的距离为15毫米，和另一点的距离为18毫米. [提示：求两个基本轨迹（圆）的交点.】 8.分别写出下列定理的假设和结论： (1)内错角相等的两条直线平行， (2)成轴对称的图形，一定是全等形， (3)一个三角形内，大边对大角. 9.在我们学过的定理中，举出两组互为逆定理的例子。*10.写出下列命题的逆命题，并说明它们是否正确： (1)在一个三角形中，如果三条边都相等，那末三个角也相等， (2)直角三角形的锐角互余， (3)凡直角都相等。 '·155· ==========第162页========== (4)如图.A,B,C,D是一直线上的点，如果AC=BD,那末 AB-CD B D (第10题(4)) 本章提要 1.概念 三角形，三角形的内角和外角： 三角形的高，中线，角平分线；轴对称图形，全等三角形；垂直平分线，点的轨迹；推论，逆命题，逆定理. 2.三角形的分类 接边绥锐 角.的 直角的 钝角的 不等边的 等腰的 等边的 ・ 156 ==========第163页========== 3.性质 (1)三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于两个直角，(180). (2)三角形的外角定理：三角形的一个外角等于两个不相邻的内角之和、 (3)轴对称图形的性质：()对称轴垂直平分连结两对称点的线段；()两个轴对称图形是全等形. (4)等腰三角形的性质：()有一条对称轴，这轴在三角形内部的线段是顶角平分线，也是底边上的中线和高；()两个底角相等：()两个有公共底边的等腰三角形，它们的顶点连结线是它们公共的对称轴、、 (5)全等三角形的对应边和对应角相等. (6)三角形中，边和角的不等量关系：.()一个三角形内任两边之和大于第三边；任两边之差小于第三边.()三角形内大边对大角；反之，大角对大边.()两双边对应相等的两三角形中，对应两等边的夹角大的第三边大；反之，第三边大的对应两等边所夹的角也大 (7)线段的垂直平分线的性质：，()垂直平分线上任一点与线段两端距离相等；()和线段两端等距离的点必在这线段的垂直平分线上， (8)角的平分线的性质：()在角平分线上任意点，和角两边距离相等；()和一个角两边等距离的点，在这个角的平分线上， 4.判定定理 (1)等腰三角形判定定理：等角对等边. (2)三角形全等判定定理：(i)8s3.(ii)8.6.8.(iii)a.8.a.(iv) w.化.8。 (3)直角三角形全等判定定理：()两直角边对应相等；(i)一边和一锐角对应相等；()一直角边和斜边对应相等. 5.作图应用直尺和圆规画出：（1)平分一已知线段或一已知角， (2)过一点作已知直线的垂线. (3)作一角等于已知角. (4)三角形的基本作图：已知(i)ss3.(ii)s.a8.(iii)as,a, 6.基本轨迹 ·157· ==========第164页========== (1)和一定点有定距离的点的轨迹—一是圆. (2)和两定点有等距离的点的轨迹一一是两定点连结线段的垂直平分线. (3)和一角的两边距离相等的点的轨迹一是这角的平分线. 复习题二 1,自等腰三角形的顶点，在两腰上截取相等的线段.求证等线段两端点决定的直线平行其底边， 2.如图：已知∠A=27°，∠B=96°，∠C=30°.求∠x的度数， [提示：添补助线BD,再利用三角形外角定理.] D (第2题) (第3题) 03.如图.求证五角星形的各顶角之和等于180°. [提示：要证明∠A十∠B十∠C +∠D+∠B=180°，可利用△PA2 的内角和等于180°，证明∠APQ= ∠B+∠D,∠AQP=∠C+∠E.] 4.如图.已知∠ABC=70°， ∠BCD=30°，∠CDE=40°.求证 BA∥DE. 5.已知三角形的一边和另一边上的中线，以及这两边的夹角。求作这 (第4题) ·158.· ==========第165页========== 三角形， 6.在等腰三角形ABC中，延长腰AB至D,连结CD,如果△ACD 和△BCD的周长分别等于32厘米和22厘米.求底AC的长. 7.在△ABC中，过AC中点引AC的垂线，和BC相交于D,连 结AD.如果AC的长为3.5厘米，△ABD的周长为9厘米.求△AC 的周长 8。两条线段AB和CD垂直相交于O,如果CO=OD.求证 ∠ACB=∠ADB. 9.如图.∥2，线段AB的中点为O.求证过点O且夹在1和 12间的线段，被点O平分， D (第9题) [提示：过点O作任意线段PQ,且P,Q分别在1和2上.再证 明OP=02即可.] 10.在怎样的等腰三角形中，底是这边上高的两倍？ 11.在等腰三角形中，一腰等于38厘米，底边上的高等于19厘米.求两底角平分线所成的钝角. 12.已知三角形的两角和其中一个角的对边，求作这个三角形 13.已知直角三角形的直角的平分线和一锐角，求作这直角三角形。[提示：先画草图，会发现有一个三角形是已知a.a8.可先作.] 14.三角形的三个内角度数之比为1：2：3，求它的三个外角之比. 15.点D是等腰三角形ABC的底边BC上一点，E是腰AB上一 点，如果延长线段D2和CA的延长线相交于F.求证CF>BF. [提示：先在△FAB中证明FA+4B>FB,再利用已知条件AB =AC,即可证得CF>BP.] ·59· ==========第166页========== 3 B B (第15题) (第17题) 16.一个三角形的两个外角之和是第三个内角的3倍，试计算第三个内角是几度 17.如图.在△ABC中，0是形内任意一点.求证∠1<∠3. [提示：延长B0与AC相交.] 18.在等腰直角三角形ABC的底边B0上取两点D和D,使BD =BA,CD=04.求证∠DAB=合. 19.在△ABC中，AB=AC,O是△ABC内-点，且∠BAO> ∠CAO.求证∠BCO>∠CB0. [提示：比较△BA0和△CAO的OB和OC,再研究△BOC的 边角关系.] 20.如果D是△ABC的∠A的外角平分线上-一点，求证DB+ DC-AB+AC. B （第21题) ·160 ==========第167页========== 21.如图.已知三线段AA',BB',CC”相交于一点O,并且有OA =OA',OB=OB',OC=OC.求证△ABC≌△A'B'C. 22.等腰三角形的一个外角为110°，求它的各内角的度数.[提示：本题有两解.] 23.等腰△ABC中，∠A是顶角，延长BA到D,使AD=AC.求 证△DBC是一个直角三角形. 24.△ABC的边AB上的高CE和边AC上的高BF,它们相交 于H.求证∠EHF+∠A=2d. 25.如图.以△ABO的边AB和AC分别为边，向外作等边三角 形ABD和ACF.求证BF=DC, [提示：证明△ABF≌△ADC.] (第25题) 161· ==========第168页========== 第三章四边形 多边形和它的内角和 §31多边形 我们在上一章里已经学习了三角形的一些性质、作法和应用.除三角形外，我们还常常看到一些图形，它们是四条或 四条以上的线段首尾顺序相接的封闭图形（图31）.由三条或三条以上的线段首尾顺序相接的封闭图形，叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边，按照边的数目分别鲜做三角形，四边形，….所以三角形是多边形中边数最少的一种. 图3,1 多边形所有各边长度的和叫做它的周长， 如果延长多边形的任何一条边，而整个多边形都在这边的延长线的同旁，这样的多边形就叫做凸多边形（图3·2） 象图33中的多边形ABCDE,它不在直线CD的同旁， ·162 ==========第169页========== 图32 图33 就不是凸多边形. 我们研究的多边形，都是凸多边形. 注意在判别一个多边形是否是凸多边形的时候，应该延长它的每一条边进行观察.如果这个多边形总是在它的所有的边的延长线的 同旁，这就是凸多边形.例如，图3·2中，我们分别延长边BC,CD, D丑和涩A,都可以看到这个多边形总是在各边的延长线的同旁，所以 判定它是凸多边形.但是如图3·3中就不是这样，我们延长边AB,AB 和ED时，多边形是在它们的同旁，而延长边BC和CD时，多边形就 不在它们的同旁了，所以判定它不是凸多边形 多边形的相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，这些角的顶点叫做多边形的顶点， 多边形通常用它的顶点的大写字母顺次地写出来表示.· 在图3·2中所表示的五边形ABCDE,就不允许写成五边形 ABDCE,不能把它的顶点次序弄乱. 连结多边形中不在同一条边上的两个须点的线段叫做多边形的对角线.很明显，在多边形中过一个顶点的对角线可以把多边形分成若干个三角形，它们的个数等于多边形的边 数少2.例如图3·2中是一个五边形，所以自顶点A作出的 对角线AC和AD,分成(5-2)个三角形，就是分成△ABC: ·13 ==========第170页========== △ACD和△ADE3个三角形. 现在来回答下面的问题： 问题1.那-一种多边形没有对角线？ 问题2.过六边形的每一个顶点有儿条对角线？可以分成几个三角形？七边形呢？ 问题3.如图34中，我们可以用下面的几种形式之一来表示这个四边形： D (1)四边形BCDA; (2)四边形BADC; (3)四边形DCBA. 还有几种表示的形式，你 图34 能写出来吗？ 为什么不允许表示为四边形ACBD,或四边形ACDB, 或四边形ABDC,或四边形ADBC等等？ 习题3·1 1.五边形有几个顶点，几个内角，几条对角线？（几条对角线是指所有的对角线，不是在-一个顶点所画的对角线.) 2.画出一个四边形并连结它的对角线.作出线段等于(1)它的对角线之和：(2)四边形的周长、并比较它们的大小 3.上一章里我们已经知道三角形具有稳定性，四边形有没有稳定性？怎样才能把它的形状固定起来？ 4.求四边形的各边之长，如果： (1)它的周长等于31厘米，而四边的比是2：3：4：5； (2)它的周长等于76毫米，其中一边等于24毫米，其余三边的长 之比是2：1：2 234 ·164· ==========第171页========== 5,证明： (1)四边形两对角线之和大于任何两条对边的和， (2)四边形两对角线之和大于 四边形的周长的一半， [提示：利用三角形两边之和大于第三边这一定理.] 6.三角形的两条边被一条直线所截，得到一个四边形，证明这个 四边形的周长小于原来三角形的周 (第6题) 长 [提示：如图.求证的是EB+BC+CD+DE;RH<. 也就是说，在AB的上方取不在直线PQ上的任何一点， 它与直线AB的距离都不等于L. 从上面问题的证明和讨论，我们可以断定，在直线AB的 上方，与AB的距离等于？的一切点都在直线PQ上· 同理，在直线AB的下方可得直线P'Q',与AB的距离 等于1的一切点，都在直线PQ上。， 由此我们可以得出： 和已知直线有已知距离的点的轨迹，是平行于已知直线且与它有定距离的两条直线. 2.经过与两平行线AB和CD的距离相等的点P(PD 188· ==========第195页========== =P)作直线PQ∥AB∥CD,那末直线PQ上的任意一点和 直线AB,CD的距离都相等 (图330). 【证】在PQ上任取一点 Q,过Q作线段HG⊥AB. 因为EF⊥AB和CD, R 又AB∥PQ∥CD, 3.30 .QG=PE,QH=PF,又PE=PF,可知QG=QH. 这就证明了直线PQ上的任意一点和直线AB,CD的距 离都相等. 如果在PQ外任取一点S,过S作KR⊥AB,则有SR> PF=EP>SK,即SR>SK.也就是说不在PQ上的一切点， 都不与AB和CD等距离， 由此我们可以得出： 和两条平行线距离相等的点的轨迹，是与这两平行线平行且距离相等的一条直线. 应用上面的轨迹来解作图题， 例1.在已知圆0上求一点，使这点与已知直线？有距离d. d 已知定圆O,直 线1和定长d(图3.31). 求作在定圆O上 画出一点P,使P到直 线1的距离等于d. 分析要求点P一定 图331 在与直线1有距离d的平行线AB上，但又要在圆上，所以一定在圆O 和直线AB的交点上 ·189· ==========第196页========== 【作法】，作EF⊥1，使EF=d,过E作AB∥1，并与圆O 相交于P和P',那末P和P'两点就是所求的点， 证明由读者自已来完成. 注意‘如果圆O和直线，的位置离开得过远，则AB可能与圆0不 相交，或只相交于一点；如圆O与直线1相交时，最多可求得四点，希望 读者自行研究. 例2.已知平行四边形的底边、一个底角和一双对边间的距离，求作这个平行四边形。 已知平行四边形的底边a,底角A和一双对边间的距离h, 求作.平行四边形（图332）、 图332 【作法】作∠EAF=∠A,在AE上取AB=a.取AE上任意点S,作SR⊥AE,且使RS=h.过点R作 AE的平行线L交AF于D. 过B作AD的平行线交L于C,则ABCD就是所求作的 平行四边形. 【证】在四边形ABCD.中，∥AE,.BC∥AD, .ABCD是一平行四边形.又根据作图，AB=a,∠BAD=∠A,AB与CD之间的距离等于h. .ABCD是满足已知条件的平行四边形。 .190 ==========第197页========== 习思题3•8 1.画一条6厘米长的线段，把这条线段分成7等分。2。试利用横格子的练习簿，把5厘米长的线段分成6等分. 3.应用厘米尺把宽15厘米，长25厘米的长方形纸的宽分成19个相等的格子，并且把长分成28个相等的格子. 4.在线段AB的两端点画 ∠CALB=∠DBA.从A和B分别 在AC和BD上截取5条相等的线 段，如图连结各分点，就把AB线殷 分成6等分.为什么？ 5.已知平行四边形的两条邻 (第4题) 边分别等于5厘米和4厘米，它们的夹角是30°，求作这个平行四边形 6.已知平行四边形的一边等于4.5厘米，两条对角线各为6,8厘米和3.6厘米，求作这个平行四边形 [提示：先作出含有两对角线的一半，并以对角线的交点为顶点的那个三角形，再作出整个平行四边形，] 7。已知平行四边形的两条边和一对角线，求作这个平行四边形。 8.已知一边和一对角线之长，求作一个菱形 9.已知一边和一对角线之长，求作一矩形 10.如图所示，在直线AB上求 一点，使这点与两已知平行的直线1和l2的距离相等， *11,已知平行四边形的两邻边 (第10题) 和一双对边间的距离，求作这个平行四边形 [提示：利用与已知直线有一定距离的点的轨迹.] 12.已知一边和两对角线的夹角，求作一矩形 13,在45°角的一边上，从顶点起连续截取10条相等的线段，过各个分点作角的另一边的垂线，如果最长的垂线之长是35厘米，求另一边 .·191 ==========第198页========== 被分成的线段之长 14.一种蜡纸，原有22格.为了节约纸张，计划把它分成等宽的28格.画图说明怎样用厘米尺来求得分点. 15.求一点P,使与已知△ABC的边BC的两端距离相等，且与 BC有一定距离d. [提示：求与BC两端等距离点的轨迹和与BC距离等于d的点的轨迹，它们的交点即为所求的点.] §39三角形的中位线的性质 我们从平行线等分线段的性质，可以得出下面的定理.定理1如果过三角形一边的中点作直线平行于另一边，那末这条直线平分三角形的第三边. 假设在△ABC中，AN=BN,并且过N作AC的平行 线NP交BC于M(图333). 求证BM=MC. 分析要证明BM=MC,只 要过B作BS∥AC,再应用平行线 等分线段的性质即可证得 【证】过B作BS∥AC. 因为NP∥AC, 图333 、.BS∥NP∥AC(三线平行定理). 又 BN=NA(已知)， 、BM=MC(平行线等分线段定理). 连结三角形两边中点的线段，叫做这三角形的中位线.定理2三角形的中位线平行其底边，且等于底边的一￥. 重192◆. ==========第199页========== 假设在△ABC中，线段MN是三角形的中位线（图 3.34) 求证MN∥BC,aMN-BC. 分析过点C作CS平行 于AB,并且交MN的延长线 于S.如果能证得BCSM是 一个平行四边形，那末MN就 B 平行于BC了. 田334 【证】题设MN是△ABC的中位线，所以有 AM-MB,AN-NC. 过点C作CS∥AB,与MN的延长线相交于S.在△ANM 和△CNS中， ∠A=∠ACS(平行线的内错角相等)， 又 ∠ANM=∠CNS(对顶角)， 题设 AN-NC. 。△ANM≌△CNS、(a.s.a.).。 CS=AM=MB(对应边相等)， MN=NS(对应边相等). 在四边形BCSM中，已如CS∥BM,且CS=BM,可 BCSM是一个平行四边形. 。MN∥BC(平行四边形的对边平行). 又 MS=BC(平行四边形的对边相等)， 但 MN=1MS MN-NS), w=壹80（等摄代X. 。 例1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 。193· · ==========第200页========== 假设在直角三角形ABC中，M是斜边AB的中点（图 3.35). 求证C=是AB, 分析题设M是AB的中点， 即MA=MB.如果要证明MC等 于AB的一半，只要证明MC=MB 就可以了， 图335 【证】过M作AC的平行线MN交CB于N.因为M是 AB的中点，所以N也是CB的中点. 即 NC=NB(§39定理1). 又因 ∠ACB=90°， .MN⊥CB. 于是M是CB线段的垂直平分线上的一点，所以M与C, B等距离，即 MC-MB. 但是 MB=-MA=壹AB, 、.MC=克AB. 注意本例的结论已经证明是正确的，以后在别的题目的证明中也可引用作为根据 例2.顺次连结四边形各边的中点的线段，组成一个平行四边形。 假设在四边形ABCD 中，E,F,G,H分别是各边的 中点（图3.36）. 图336 ·194· ==========第201页========== 求证ETG丑是一个平行四边形. 分析要证明EPG丑是平行四边形，可以证明它的一组对边EF 和丑G平行且相等，.连补助线AC后，就可利用三角形的中位线性质来 证明. 【证】连对角线AC,在△ACD和△ABC中，G,H和 E,F分别是它们各边的中点，由三角形的中位线性质，可得 HG月AC,G=壹AC, EPRAC,EP-AC. .GH∥EF,GH=EF. 。EFG丑是一个平行四边形（一组对边相等且平行的 四边形是平行四边形)。 §310三角形的重心 我们知道每一·个三角形都有三条中线，在前面的画图中已经看到三角形的三条中线是交于一点的。现在我们来证明这个事实. 定理三角形的三条中线相交于一点，这点到顶点的距离等于这点到顶点的对边中点的距离的2倍. 假设在△ABC中，AD, BE和CF是三条中线（图337）. 求证AD,BE和CF交 于-点G.又GA=2GD,GB 图337 =2GE,GC-2GF 。15· ==========第202页========== 分析要证明D,B亚和CF三条直线相交于一点，证法不止一 种，我们采用下面的方法：先画出中线B亚和CF,它们相交于点，连 AG并延长之，交BC于D.只要证明AD就是BC边上的中线就可以 了 【证】中线BE和CF相交于点G,连AG并延长之，交 BC于D. 延长AD至K,使GK=AG,连结BK和KC,则在 △ABK和△AKC中，F,G,E分别是各边的中点，由三角形 中位线的性质得 FC∥BK,EB∥KC. 所以四边形KCGB是一个平行四边形（两组对边平行）。 因而它的对角线GK和BC互相二等分于D,就是 BD=DC,GD-DK. 所以证得AG的延长线过BC边的中点，也就是说，AG 的延长线AD线段是BC上的中线.这样，我们就证明了三 条中线BE,CF和AD相交于一点G. 又知AG=GK(作图)，而GK=2GD(,GD=DK), ∴.AG=2GD 同理可证得，GB=2GD,GC=2GF. 三角形的三条中线的交点，通常称为三角形的蓝心。 习题310 1、证明，顺次连结矩形各边中点的线段，组成一个菱形 2.证明，顺次连结菱形各边中点的线段，组成一个矩形 3.如图.在四边形ABCD中，对边AD=BC.P是对角线BD 的中点，M是DC的中点，N是AB的中点.求证△PMN是一个等 腰三角形. [提示：应用三角形中位线的性质可以证得PM=PN.] ·19%· ==========第203页========== (第3题) (第5题) 4.如果把上题中的AD=BC改为AD>BC,那末PM和PN的 大小怎样？ 5.如图.在口ABCD中，M,N分别是AB和CD的中点.则 DM和BN把对角线AC三等分、 [提示：应用§3·9定理1于△ABF和△DEC.] 6.如图.在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是AD上的-一 点，并且GD=青4D.试证明BG和CG的延长线各交对边于中点瓜 和卫， [提示：延长AD至S,使DS=GD,则SCGB是一个平行四边形. 再在△ASC和△ASB中，应用§3·9定理1，证明E和F分别是AC 和AB的中点.] B 0 (第6题) (第8题) 7.已知三角形的三边之长的比为3：4：5，它的周长等于60厘米.求连结三角形各边中点所得的三角形的周长和各边之长. 8。如图.P是∠AOB内的一定点.求通过P作一直线，使截于 ·197.· ==========第204页========== ∠AOB内部的线段被点P所等分， [提示：过P引直线平行于角的一边OB,与OA相交于M.注意 P是线段NS的中点时，在△OSN中OM与MN有什么关系.] 9.已知三角形的周长等于58厘米。求连结各边中点所成三角形的周长 10。已知一等边三角形的-一边长6厘米，过其中一边的中点引其他两边的平行线，求所得到的四边形的周长. 11.求证连结等边三角形各边中点的线段，把原三角形分成4个全等的等边三角形 12.已知矩形的周长等于24厘米，长的边比短的边长1.4厘米.求对角线交点到各边的距离。 13.怎样利用三角形中位线的 性质来确定图中A,B两点之间的距 离.其中点B是不可到达的. 14.已知三角形各边中点的位置，求作这个三角形 (第13题) [提示：连结三个中点组成一个三角形，再过它的各顶点作它对边的平行线，则这三条直线所成的三角形就是所求的三角形.] 15,在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高，M是AD的中 点，CM和AB相交于卫.求证AP=青4AB. [提示：过点D作CP的平行线交AB于Q,证明P,Q是AB的 三等分点.] 梯 形 §3·11梯形和等腰梯形 我们已经知道平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特辣的四边形、除此以外，我们在日常生活和生产中还会碰到另 、·198· ==========第205页========== 一种特殊的四边形，例如，渠道的截面图形、井圈的侧面、梯子等（图338）.， 渠道的截面 并圈的侧面 梯子 图338 我们注意到这些四边形的特点.它们都是一组对边平行，而另一组对边不平行.这种四边形叫做梯形.例如图339的 四边形ABCD的对边AB∥DC, 它就是一个梯形.·其中平行的两 边AB和DC叫做梯形的底，DC 中位 叫上底，AB叫下底；其他两边 AD和BC叫做梯形的腰. 两腰相等的梯形叫做等腰梯 图339 形.如图3·40的(1)，梯形EFG丑的两腰EF=HG,它是一 个等腰梯形. 等碳梯形 谊角梯形 (1) (2) 图340 一条腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。如图3·40的(2)就是一个直角梯形。 ·199 ==========第206页========== 梯形两底之间所夹的那段公垂线叫做梯形的高：如函 3·39的DK.连结两腰中点的线段叫做梯形的中位线。如图 339的MN. 腰和下底所夹的角叫做梯形的底角.如图339的∠A 和∠B. 定理1等腰梯形的底角相等. 假设7梯形ABCD中，AB =CD(图3.41). 求证∠B=∠C. 图341 分析要证明∠B和∠C相等，先要把它们移形到同一个三角形 里，然后再证明它们是等腰三角形的底角.因此可以自点A画补助线 AS,使AS∥DC. 【证】过梯形ABCD的顶点A,作AS∥DC交BC于 S,则ASCD是一个平行四边形. ∴.∠ASB=∠C,AS=DC. 但题设AB-DC, AB=AS. .∠B=∠ASB(等腰三角形底角相等)。 。∠B=∠C(等量代入). 定理2等腰梯形的两对角线相等， 假设在梯形ABCD中， AB=DC(图3·42). 求证AC=DB 证明可根据定理1证得 图342 △ABC≌△DCB, 。200· ==========第207页========== 就可以得到结论，请读者自己进行. 例1，如果梯形的底角相等，那末这个梯形是等腰梯形。 假设梯形ABCD的底角相等，即∠A=∠B(图3·43). 求证AD=BC. 分析1如果延长AD和BC, 使相交于P.因为∠A=∠B,可知 △PAB是一个等腰三角形.再证得 △PDC也是等腰三角形，就可证得 AD=BC了. 【证1】延长AD和BC, 图343 使相交于P.在△PAB中， ∠A=∠B(已知)， ∴。PA=PB(等腰三角形的判定定理)、 但是 DC业AB（梯形的两底平行)， 。∠A=∠PDC,∠B=∠PCD(平行线的同位角相等)， 就是 ∠PDC=∠PCD. .PD=PC(等腰三角形的判定定理)， 因为 PA-PD-PB-PC, AD-BC. 本题亦可用另一种方法来证明. 分析2要证明AD=BC,可先平移其中一线段，使与另一线段在 同一个三角形中，这样就便于比较 它们的大小了.如图344，把BC平 移到DP的位置，也就是从D作DP ∥CB.这样DP就平行且等于CB 了.只要再证得DA=DP即可. 【证2】过D作DP∥CB, 与AB相交于P、 图344 ·201· ==========第208页========== BCDP是平行四边形， DP兰CB, ∠DPA=∠B. 但是 ∠A=∠B（已知)， ∠DPA=∠A. 于是在△DAP中， DA=DP(等腰三角形的判定定理)， DA=CB. 注意象本例的证法2中作补助线DP∥CB,而且DP=CB,也 就是把CB线段平行移动（简称平移）到DP的位置.这种平移一条线 段的方法，不仅对证明会取得便利，而且对于作图也有好处 例2.如果梯形的两条对角线相等，那末它是一个等腰梯形， 假设梯形ABCD中AC=BD(图3·45). 求证AB=DC. 图345 分析要证明AB=DC,可以从△ABC和△DCB来考虑.如 果能证得∠2=∠1，那末就有△ABC≌△DCB.为了证明∠2=∠1， 可把线段AC平移到DS的位置，再利用AC=BD的条件，就容易证 得∠1=∠8=∠2了. 【证】过D作DS∥AC,并交BC的延长线于S.则ACSD 是平行四边形，故有AC=DS, 在△DBS中， ·202· ==========第209页========== DS-AC-DB, .·∠1=∠S(等腰三角形底角相等)， 又 ∠2=∠S(AC∥DS), .∠1=∠2. 在△ABC和△DCB中，已知 ∠1=∠2，AC=BD, BC=BC(公共边)， △ABC≌△DCB(s..s.). AB=DC(对应边相等). 例3.已知梯形的四条边，求作这个梯形。已知线段a,b,c,d. 求作梯形ABCD,使两底AB=a,DC=c,两腰AD=d,BC=6. 分析先画一个草图作为探求作图方法之用.草图不要求严格符合条件、如草图3·46中，梯形B'OD讥为已经作成.则A'B=a, B'C'=b,D'C'=c,A'D'=d,并且D'C'∥A'B、如果把D'A平移到 C'E的位置，则对△CEB',已知三条边的长可先作出，就是C =D'A'=d,C'B'=6,E'B=AB-A'E=A'B-D'C'=a-C. 出△E'BC'之后，再作梯形就容易了. 图346 【作法】作△EBC使CE=d,CB=b,EB=a-c.如图 3.47. 延长BE到A,使AB=a. ·203· ==========第210页========== 过点C作CD∥BA,使CD =C. 连结DA,则ABCD就是所 要画的梯形。 【证】 eBE=a-c, (a-0 AB=a, 图347 .AE=AB-EB=a-(a-c)=c. ·.AE=DC. 又 AE∥DC. 所以AECD是一个平行四边形.'故知它的对边 AD=EC=d. 又 BC=b. 所以ABCD是所求作的梯形、 注意求作梯形的问题，如果已知它的两腰之长时，先平移一腰使与另一腰和底边构成一个三角形，再根据其他条件来探求它的作法，掌握这个方法是有益的. 习题3·11 1.已知梯形的底角是68°和76°，求它的其余两个角， 2.梯形的短的一条底等于4厘米，过它的一个顶点引一直线平行于一腰组成一个三角形，它的周长等于12厘米.求这梯形的周长 3.已知梯形的两底是3.5厘米和11厘米，两对角线等于6厘米和 9.2厘米.求作这个梯形. [提示：先作草图，平移一对角线后再仔细观察，注意两对角线和两底之和所组成的三角形可先作出.] 4.已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15厘米和49厘米。求它的腰长 八5.求证顺次连接等腰梯形各边中点所组成的四边形是一个菱形。 ●204· ==========第211页========== [提示：利用它的对角线相等的条件.] 6.如果等腰梯形的下底是上底的两倍，它的一腰等于上底，求它的内角。 7.等腰梯形的高是腰的一半，求它的内角 8,求证连结梯形对角线中点的线段平行于两底，且等于两底差的 一半. [提示：可以把一对角线的中点与一腰的中点连结起来，应用三角形中位线的性质来证明此线必过另一对角线的中点，再观察包含上底和下底的两个三角形来证得第二个结论.] 9.已知直角梯形的两底长各为3厘米和4厘米，不与底边垂直的那个腰长为2厘米.求作这个直角梯形 10.证明顺次连结梯形的两底的中点和两对角线的中点所成的四边形是一个平行四边形，并且它的周长等于两腰的和. §3·12梯形的中位线的性质 梯形的中位线具有下面的性质： 定理梯形的中位线平行两底，并且等于两底的和的一半. 假设MN是梯形ABCD的中位线，就是DM=MA, CN=NB(图3.48). D 求证MN∥AB,且 MN=4B+DC 2 分析要证明MN∥AB, 可以延长DN使与AB的延 图348 长线相交于S.只要证得点N 是DS的中点，那末在△DAS中MN是它的中位线，于是就能证得 MN平行AS了.而要证明N是DS的中点，则可从△DCN和△SBN 来考虑。 ·205。 ==========第212页========== 【证】连结DN,并延长交AB的延长线于S.在△DCN 和△SBN中： NC=NB, ∠CND=∠BNS(对顶角相等)， 又因 DC∥AS, ".∠C=∠NBS(平行线的内错角相等). △DCN≌△SBN(a.8.a.). 。ND=VS(对应边相等)， DC=BS(对应边相等). 在△DAS中，M和N分别是两边的中点，所以有 MN∥AS,即MN∥AB. 又MV-受A5=(4B+53)-는(4B+DC). 例·梯形的中位线等于16厘米。它被一对角线所分成两部分的差是4厘米，求这梯形的两底边的长· 【解】.设中位线被一对角线分成的两部分各为心和(”+4)厘米（图349）。因此，有 x+(x+4)=16, 即 2x±12. 16c和 。心=6， 则 x+4=6+4=10.也就是中位线被一对角线 图349 所分成的两部分各为6厘米和10厘米。从而推得梯形的两底分别是12厘米和20厘米， 习题312 1.梯形的两底长度之比为5：2，两底之差为18厘米.求它的中位 ·206· ==========第213页========== 线的长。· 2。等腰梯形的周长为80厘米，如果它的中位线等于腰长.求它的腰长. 3.梯形的中位线被它的两条对角线分成三部分长度的比为1：2：1，中位线的长是24厘米。求它的两底 4.如果等腰梯形的对角线互相垂直，求证它的中位线与高相等、[提示：顺次连结底和腰的四个中点，证明所组成的四边形是一个正方形.] 5.梯形的中位线能不能等于它的一条底边？为什么？ Q*6.如果等腰梯形的对角线平分锐角，又对角线分中位线成10厘米 和18厘米两部分.求它的周长. [提示：它的较短的底等于一腰，] 本章提要 1.概念 多边形，平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形，等腰梯形，直角梯形； 中心对称图形； 三角形中位线，梯形的中位线： 三角形的重心 2.四边形分类（见208页附图） 3.性质 (1)多边形的内角和及外角和定理：()多边形的内角和等于(n一2)2d,(ii)多边形的外角和等于4d. (2)平行四边形的性质：()被一对角线分成两个全等三角形，(i)对边相等，(ii)对角相等，(v)对角线互相平分. (3)平行线的性质：()平行线间平行线段相等，()平行线间的距离处处相等，()平行线等分线段定理 (4)中心对称图形的性质：()连结两对称点的线段被对称中心平分，()两个中心对称图形是全等形. ·207· ==========第214页========== ·3. 四边形的分类 有一个角是直角 邻边相将 两粗对边乎行 矩形 千行四边形 邻边相等 有一个角是直角 正方形 菱形 两腰相等 四边形 一组对边本行另一粗对边不平行 等腰梯形 梯形 一接垂直其底 直角裙形 ==========第215页========== (⑤)三角形中位线的性质：三角形的中位线平行其底，且等于腐的一半， (6)三角形三条中线相交于一点（重心）。这点到顶点的距离等于这点到顶点的对边距离的2倍. (?)等腰梯形的性质：()底角相等，()对角线相等 (8)梯形中位线的性质：梯形的中位线平行两底，并且等于两底的和的一半. 4.判定定理平行四边形的判定.在四边形中：()两组对边分别相等，()一组对边平行且相等，()对角线互相平分. 5.计算和作图 (1)计算：多边形的内角和及外角和 (2)作图：()等分一已知线段，()作平行四边形和梯形，()平移法作图. 6.基本轨迹 (1)和已知直线定距离的点的轨迹一是平行于已知直线、且与它有定距离的两条直线 (2)和两平行直线距离相等的.点的轨迹一是与这两平行线平行且距离相等的一条直线 复习题프 1.哪些四边形的对角线相等？ 2.些四边形的对角线互相平分？ 3.哪些四边形的对角线互相垂直？ 4.哪些四边形的边都相等？哪些四边形的角都相等？有没有边和角都相等的四边形？ 5.过矩形的顶点引对角线的垂线，并分对角线成6厘米和2厘米的两条线段.求矩形的短边之长 [提示：连结另一条对角线，找出其中有一个是等腰三角形.] 6.在正方形ABCD内取一点K,以AK为一边作正方形AKLM, 使L,M和D在AK的同旁，连结BK和DM(如图所示)、求证BR =DM. ·209· ==========第216页========== [提示：求证△ABK≌△ADM.] B (第6题) 7.在对角线为24厘米的正方形中，内接一个矩形，使它的边分别与正方形的对角线平行，且矩形的两边长之比为1：2，求矩形的边长[提示：利用等腰直角三角形求得矩形的周长等于正方形对角线的2倍.] 8.已知平行四边形的一边和这边上的高，以及对角线和这边的夹角，求作这个平行四边形 9.一个四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O.又AO= C0,B0=2cm,D0=3cm.这个四边形是一个平行四边形吗？为什么？10,求证过平行四边形对称中心的直线分平行四边形成两个全等的梯形 [提示：可利用中心对称图形的性质.】 11.已知平行四边形的一个内角为100"。求过这角的项点向两对边所引两条高间的夹角的度数， 12,等腰梯形的中位线等于15厘米，一个底角等于60'，对角线平分60°的底角，求这等腰梯形的周长 [提示：如图中MN是中位线，则有2MN=DC+AB.又AC等 分∠A,可知△DAC等腰，即知DA=DO,CK,DH都是高，设法证明 KB=AH=】AD.至此，再根据这些关系式和MN=15cm,即可算 2 ·210。 ==========第217页========== 出这等腰梯形的周长.] D 300 0° 60B (第12题) 13.以AD为公共边向同旁各作一个平行四边形ABCD和AEFD, 求证BEFC也是平行四边形. 14.过直角三角形两直角边的中点，分别引直角边的垂线，求这两条垂线交点的位置 [提示：它们的交点在斜边上.] 15.平行四边形的周长等于68厘米，被两条对角线分成的两个不 .同的三角形的周长的和等于80厘米，义两对角线的长度之比是2：3.求两条对角线的长 [提示：题中所说的两个不同的三角形是指有阴影的这两个三角形.] (第15题) 16.已知一边和其他两边上的中线，求作三角形. [提示：先作重心和已知边的两端点为顶点的三角形，然后再根据重心分中线的性质作出三角形.] 17。过等腰三角形底边上的一点引两腰的平行线。证明所成的平行四边形的周长与这一点在底边上的位置无关 [提示：所成平行四边形的周长等于两腰之和.] 18.矩形ABCD的周长等于56厘米，它的对角线交点为K,△BKC 和△AKB的周长的差等于4厘米.求这矩形的各边之长 ·211· ==========第218页========== 19.如果平行四边形的一对角线平分顶角，则这平行四边形的两对角线互相垂直， [提示：先证明它是菱形.] 、20.如图.P是四边形ABCD内的任意一点.求证 PA+PB+PO+PD>AC+BD. D (第20题) 21.在四边形ABCD中，∠B=∠C,∠A=∠D.求证AB=CD. 22.河的两岸成平行线，A,B是河的两岸的两个车间（如图）、要在 河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A,B间的路程最短 确定桥的位置的方法如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸P②， MN于F,G.在AG上取AE=FG,连结BB,EB交MN于D.在 D处到对岸作垂线DC,那末DC就是造桥的位置， 试说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是(AC+CD 十DB)最短的理由 (第22题) 212。 ==========第219页========== 第四章圆 我们在第一章的§1·4里已经学习过圆和圆弧，知道一个圆是由圆心的位置和半径的大小来确定的.后来，又在第 二章的§2·16里重新把圆的定义写成是平面内和一个定点的距离相等的点的轨迹.关于圆的一些性质、直线和圆、圆和圆的关系等，将在本章系统地加以研究、 圆的基本性质 §41不在一直线上的三点确定一个圆 我们知道，经过两点能画一条直线，并且只能画一条直线，也就是说，两点的位置一确定，过这两点的直线的位置也随着确定了，那么，几点能确定一个圆呢？要回答这一问题，就需要过一点、两点或三点来 0 画圆，然后作出结论. (1)设在平面上有 0% 一点A,求在这个平面 上过点A能画几个圆 82 (图41). 在平面上取点A以 图41 ·213· ==========第220页========== 外的另一点01，并且以01为圆心，OA为半径画一个圆，这 圆就是过一定点A的圆.其次，取不同于点A和点O1的另一 点O2,以O2为圆心，O2A为半径又可画一个圆，这圆也是过 定点A的圆. 如果我们依照上述的办法，再取不同于A,O1和O2的另 一些点如O,O4)…做圆心，以这些点到点A的距离，分别为半 径画圆，可以确信，所画出的这些圆都是过点A的、很明显， 在平面上不同于点A的如O1,O2,…等等的点是无数多的，以 它们为圆心，每一个点到点A的距离为半径，可以画出无数个 过点A的圆. 现在我们得出结论：过一已知点可以画无数个圆 (2)设在平面上有两点A和B,求在这个平面上过点A 和B能画几个圆（图42）. 要过两已知点画圆，这与过一已知点画圆不同.因为在平面上找的圆心就必须与两已知点等距离. 我们已经知道，与两定点A和B 等距离的点一定在线段AB的垂直平 分线PQ上.取直线PQ上的任意一 点为圆心，这点到A(或B)的距离为 半径画的圆都是过点A和B的圆， 从此，我们得出结论：过两已知点可以画无数个圆 (3).设在平面上有三点A,B和 C,求过A,B,C能画几个圆（图43）。 平面上三点的位置有两种情形， 图42 现在就这两种情形来讨论： ·214· ==========第221页========== (1)如果A,B,C三点在一条直线上（图43(1）)，要经 过这三点画圆，关键是能否找到圆心，也就是要找与A,B,C 三点的距离都相等的一点. 与A,B距离相等的点在AB的垂直平分线PQ上，与B, C距离相等的点在BC的垂直平分线RS上·因为PQ和RS 垂直于同一条直线AC,所以它们是平行的，也就是PQ和RS 没有交点.这样，就找不到和A,B,C三点距离相等的点。因 此，经过一条直线上的三点不可能画圆 8 (1) (2) 图43 (2)'如果A,B,C是不在一直线上的三点（图43(2）)， 则连结AB,BC和AC组成△ABC,再分别画AB和AC的 垂直平分线，得交点O.因为点O在线段AB的垂直平分线 上，所以有 OA=0B, 同理，点O又在AC的垂直平分线上，所以有 0A=0C. OA-0B=0C. 因此，取点O为圆心，OA为半径画的圆一定经过A,B, ・215 ==========第222页========== C三点， 同时可证得点O也在线段BC的垂直平分线上，从此得 三角形各边的垂直平分线交于一点. 因为AB和AC的垂直平分线一定相交于一点O,OA是 定长的线段、所以经过不在一直线上A,B,C三点，可以画 一个圆，而且能画一个圆、一般地说：经过不在一直线上的 三点确定一个圆. 如图43(2)的圆O,它是经过△ABC的各页点的，圆O 叫做△ABC的外接圆.△ABC叫做圆O的内接三角形.点 O叫做三角形ABC的外接圆中心（简称外心).外心就是三 角形的三条边的垂直平分线的交点， 注意如图43(2)中的△ABC是一个锐角三角形，它的外心在 三角形内.如果三角形是直角三角形，它的外心就在斜边的中点（图44).如果是钝角三角形，它的外心就在三角形外（图45）. 园44 图45 下面利用三角形的外心来证明三角形的三条高交于一点 设在△ABC中，AD,BE,CF是三角形的三条高（图46） 求证三条高AD,BE,CF相交于一点. 分析过△AB0的各个顶点作它的对边的平行线，组成△PQS 216・ ==========第223页========== (图46).如果要证明 △ABC的三条高AD, BE,CF交于一点，只要证 明AD,BE,CF分别是 △PQS各边的垂直平分线 就可以了. 【证】过△ABC 的顶点A作BC的平行 线PS;过点B作AC的 图46 平行线PQ;过点C作 AB的平行线QS.这三条线相交成△PQS,则 BCAP和BCSA都是平行四边形. '。PA=BC,AS=BC。 因此， PA=AS. 又因，AD⊥BC,而PS∥BC, .AD⊥PS. 故知AD是PS的垂直平分线， 用同样证明的方法可以证得 B它是PQ的垂直平分线， CF是QS的垂直平分线. 所以AD,BE,CF是△PQS的各边的垂直平分线，从而 交于一点（就是.△PQS的外心）. 既然AD,BE,C这三条线交于一点，也就证明了△ABC 的三条高是交于一点的. 。本例的证明是变更问题的证明方法.就是把△ABC的 三条高变更为△PQS的三条垂直平分线.由于我们知道一 个三角形三条边的垂直平分线是相交于一点的，因此原三角 ·217· ==========第224页========== 形的三条高交于一点也得到证明. 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心，通常用丑标出. 注意三角形垂心的位置可以在三角形的形内、顶点和形外，锐角三角形的垂心在形内（图4·6），如果是直角三角形，它的垂心在直角顶点（图4·7(1）)，如果是钝角三角形，它的垂心在形外（图47(2）). (1) (2) 图47 习题41 1.具有相同半径”，且通过已知点A的圆的圆心的轨迹是什么？ 2.求作通过两已知点且有已知半径的圆. [提示：要分已知半径大于、等于、小于两已知点间的距离的一半这三种情形来画.] 3.求作一个圆使它过两已知点，且圆心在已知直线上 4.设∠ABC=120,在角的两边上分别取BA=BC=6cm.过 A,B,C三点画个圆，求它的直径之长 5.·求一段车轮外胎的圆心. (第5题) ·218· ==========第225页========== 6.直角三角形的斜边为15厘米.求它的外接圆半径， i §4·2垂直于弦的直径的性质 定理1垂直于弦的直径平分这弦和它所对的两条弧， 假设直径AB垂直于弦CD(图48)、 求证CE=ED,CB=BD,CA=DA. 分析要证明CE=ED,可先连结半径OC和OD,△OCD是等 腰三角形，再利用它底边上的高就是中线的 性质，即可证得CE=ED. 要证明CB=BD,CA=DA,只须利 用轴对称图形的性质.沿着直径AB折迭起 来，就可看出CB=BDCA=DA, 【证】连结半径OC,OD.在等 腰△OCD中，已知OE⊥CD,所以 OE也等分CD,则有 图48 CE-ED. 将圆沿着直径AB向左方折迭过去.因为AB是等腰三 角形OCD的对称轴，因此可知点D落在点C上，右半圆落在 左半圆上而完全重合.因此得 CB=BD CA-DA. 我们证得了定理1. 从线段的垂直平分线的性质定理2以及本定理1，即可推出下面的定理： 定理2ˉ弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这弦所对的两条弧. 我们根据定理2，可以平分一条已知的孤，只要画这孤所 ,219· ==========第226页========== 对的弦的垂直平分线就可以了（图49）， 图中PS是已知PS所对的弦，AB是弦PS的垂直平分 线，M是PS与AB的交点，则有 PM-MS. 图4.9 图4,10 定理3平行弦之间所夹的弧相等， 假设弦AB平行于弦CD(图4·10). 求证AC-BD 【证】作直径EE⊥AB.因为CD∥AB,所以EF LCD. 把图形沿着直径EF翻折过来，使右边部分和左边部分 重合. 由上面的作图，AB⊥EP.根据定理1，则有 AN-NB. 所以A和B是关于轴EF为对称的两个点.因而点B.和点A 重合. 同样，点D和点C重合，半圆EDBF和半圆ECAF重 合.所以得出 AC=BD. ·220· ==========第227页========== §43在同圆（或等圆）中，弦、弧、 弦心距之间的关系 圆心到弦的距离叫做弦心距.如图4·11，圆O中的0ML AB,OM就是弦AB的弦心距. 假设图中的AB=CD.把AB连 同半径OA,OB依照箭头所指的方向 绕着圆心O旋转，使点A和点C重合， D 那么点B就和点D重合，因此 AB=CD. 这时弦心距OM和ON也重合， 所以 图4.11 OM-ON. 从此得出下面的定理： 定理1在同圆或等圆①中，相等的弧所对的弦相等，相等的弦的弦心距相等. 反过来，我们用同样的方法容易证明下面的定理：定理2在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣孤②相等；弦心距相等的弦相等. 如图4·12，圆0和O'是相等的，设AB=CD. 求证AB=CD 【证】请读者参照上面旋转图形的方法自己来证明. ①如果弦AB和CD在两个等圆O和O'中，则应先把圆O'和圆O重 合，再用旋转的方法. ②劣弧是指小于半圆的弧。 。221. ==========第228页========== N B 图4.12 下面来讨论弦和弦心距之间的不等量关系： 定理3在同圆或等圆中，对两条不相等的弦，大弦的弦心距较小. 假设，弦AB>弦CD,OM⊥AB,ON⊥CD(图4·13). 求证OMCD,·.AB> AE,则圆心O与点E落在AB的两劳.过点O引AE的垂线 OK.则OK和AB相交于一点S,构成△OMS. 在△OMS中，因为OM LAB,可知OS是直角三角形 OMS的斜边，因此 OS>OM(斜边大于任-一直 角边) 又因OS是OK的一部分，当然 有 OK>OS, OK>OM. 但是弦AE=CD,.所以它们的弦 心距相等，就是 图413 ON-OK. 从此得ON>OM,即OMCD, 0 图4.14 困4,15 【证】我们用反证法. 弦AB和CD之间只可能有下面三种关系的一种， AB-CD,ABCD 但是AB不可能等于CD,因为这样就要有OM=ON,这 和假设OMON,这和 假设OMCD成立. 例1。求证圆的直径是最大的弦. 假设圆O中AB是直径，CD是不通过圆心的任意弦 (图415). 求证AB>CD. 分析要证明直径AB大于弦CD,只要连结两条半径OC和OD, ·223· ==========第230页========== 则在△OCD中有OC+OD>CD.但OC+OD=AB.这样就证得了 AB-CD 【证】连结OC,OD,因为题设CD是不通过圆心的任意 弦，所以一定可以作出△OCD.在△OCD中， QC+OD>CD(三角形内两边之和大于第三边). 但是OC+OD=AB'(直径等于同圆半径的2倍)， AB>CD. 例2.已知等腰三角形的腰长是2厘米，顶角等于120°.求它的外接圆的直径之长. 【解】如图416，圆O是等腰三角形ABC的外接圆，其 中∠A=120°，AB=AC=2cm. 作∠A的平分线AM,则AM必垂直平分BC.根据 §4·2定理2可知AM经过圆心O.连半径0C,则因为OA =0C,而∠0AC=60°，所以△A0C是一个等边三角形. ∴.0A=AC=2cm. 从此得， 直径AP=20A=2cm×2=4cm. 答：外接圆的直径等于4厘米， 图4.16 图417 例3.过圆O内一点P引两条相等的弦AB和CD(图 ·224· ==========第231页========== 417).求证OP平分∠DPB,也就是∠OPD=∠OPB. 分祈要证明∠OPD=∠OPB,可以利用等弦的弦心距相等的关 系.作补助线OM⊥AB,ON⊥CD,则有 OM-ON. 只要证得直角三角形ONP和OMP全等就可以了. 【证】从圆心O作OM⊥AB,ON⊥CD.因为AB=CD, 则有 OM-ON. 在直角三角形ONP和OMP中，已证得 ON-OM,OP=OP, .△ONP≌△OMP(斜边和直角边对应相等的两直 角三角形全等). ∴.∠OPN=∠OPM. 也就是OP平分∠DPB. 例4.在圆0中引两条不等的平 00 行弦AB和CD(图418).求证 AC-BD 分析1要证明弦AC=BD,只须证明 它们所对的劣弧CBA等于BAD就可以了. ☒4.18 【证1)因为AB∥DC, BC=AD(平行弦之间所夹的弧相等). 等式两边各加AB,则有 AB+BC-AB+AD, 就是 CBA-BAD, .AC=BD(等弧对等弦)， 本例的证明又可如下来考虑： .·225· ==========第232页========== 分析2如图4·19.由题设AB∥D0, 可知ABCD是一梯形，而AC,BD都是梯 形的对角线。要证明梯形的对角线相等，只 要证得ABCD是一个等腰梯形就可以了. 【证2】请读者自己完成， 图4.19 习题43 .通过圆内的一已知点，试作一弦使之被这点平分。·[提示：利用直径垂直于弦的性质.] 2.过圆上一定点A,引弦AB和AC分别等于这圆的半径，连结 BC.求圆心到BC的距离。 [提示：连结OA,OB,O0,证明OCAB是一个菱形.再由菱形的 性质即可求得圆心O到BC的距离.] 3。过圆上一点引两条互相垂直的弦.如果圆心到这两条弦的距高分别为30厘米和10厘米.求这两弦之长 4.在已知圆中任意引两条直径，顺次连结它们的端点所组成的四边形是一个矩形. 0 5.在同一圆中，已知弦AB=12cm, D=8cm,这两弦的弦心距那-个大？ 6.在圆O中，弦AB=CD(如图)， 求证：(1)A0=BD:(2)∠1=∠2. 7.已知一条直线和这直线外的一点， (第6题) 求以已灯点为圆心作一个圆，使这圆在已知直线上截取定长线段，[提示：自已知点画已知直线的垂线，在已知直线上垂足的两旁各取一点，使这点与垂足间的距离等于定长线段的一半。再以已知点为圆心，这点到直线上刚弧取的那个点之长为半径的圆就是所求的.丁 8.过圆外一点M,引圆O的两条割线MBA和MDC,连结MO. ·226.· ==========第233页========== 知果∠0MA=∠0MC,求证B=CD B D (第8题) (第10题) 9.在上题的圆中，MBA和MDC是割线.已知弦AB=CD.求 证BM=DM. [提示：连OM,过圆心O作AB和CD的垂线，再证明两直角三 角形全等.] 10.如图.AB是圆O的直径，已知B0弦长4厘米，求弦AC中点 至点O的距离. [提示：应用三角形的中位线性质.] 人11.圆内一弦与直径相交成30°的角，且分直径成1厘米和5厘米两部分.求这弦的弦心距. *12.求已知圆内等弦的中点的轨迹. [提示：等弦的中点的轨迹是以这圆的圆心为圆心，弦心距为半径的圆.] §4·4圆心角、圆周角、圆内角和圆外角的度量 1.圆心角顶点在圆心上的角叫做圆心角，如图420 的∠AOB和∠A'OB'都是. 下面我们来研究圆心角和它所对的弧的关系. 把圆心角A'OB依照图4·20中箭头所指的方向旋转，先 ・27・ ==========第234页========== 使OB'落到OB的位置.如果OA'落到OA的位置，那么圆 心角A'OB'所对的A'B也就落到AB的位置，这样就可以 知道在一个圆中有下面的定理： B 的试 B 图420 图421 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.反过来，用同样的方法可以得到 定理在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等我们已经知道一个周角是360°，如果把一个圆心角分成360等分，这时整个圆周也被分成360等分.我们把每一份叫做1°的弧.由此可以看到，°的圆心角所对的抓是%°的弧.反过来，n°的弧所对的圆心角是°.从此得出 圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数，注意1°的弧是指任何一个圆来说的，不管圆的半径的大小，总是把整个圆周的360分之1叫做1°的弧.例如图422中，是两个圆心相同半径不等的圆（同心圆），∠AOB=d,所以AB是90°的弧，AB也 是90~的弧，它们都是自己的图两的四分之-（就是0但是AB并 不等于'B.这是因为它们的圆的半径不等的关系.因此，相等的孤和 相同度数的弧的意义是不同的，如图4·20中的A'B和AB是相等的 弧，也是相同度数的弧.如图4·22中的AB和AB是相同度数的孤， 但不是相等的弧.前面所讲的量角器，就是根据圆心角定理制作的， ·228· ==========第235页========== 2.圆周角顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做 圆周角·如图4·23的∠P.下面我们来研究圆周角和它所 对的弧的关系. 8 图422 图4.23 前面已经知道，圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以研究圆周角时也可以研究它和同孤上的圆心角的关系 如图424(1)的情况，圆周角APB的一边AP通过圆心 O.那么连结OB就可以证得，∠AOB是等腰△POB的外 角，所以∠A0B=2∠P.就是∠P=是∠AOB. (1) (2) (3) 图424 如图4·24的(2)或(3)的情况，圆周角APB的边都不通 过圆心.只要经过P作直径PS,连结OA和OB,就可以得 ·229· ==========第236页========== 图424(2)中，∠APB=∠APS+∠SPB =2∠A08+合∠S0B =2∠A0B, 图424(3)中，∠APB=∠APS-∠BPS -2∠A0s-2∠B0s ∠A0B, = 因此，不管是那种情况，圆周角都等于对同孤的圆心角的 一半，由于圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以得出 圆周角定理·圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 从上述定理，可以推知下面的重要推论.推论1】半圆上的圆周角是直角. 例如，图4·25的AQB的度数=180°，所以 ∠AP8=3x×180°=90. B Q 超425 图·426 推论2同一条弧上的圆周角都相等。 ·230· ==========第237页========== 例如，图4·26的∠APB=∠AQB=∠ARB. 3.圆内角角的顶点在圆内的角叫做圆内角.如图 427的∠APD. 我们研究圆内角可以从与它相等的圆周角来考虑，过点 C作CS平行于AB,则有 ∠APD=∠C. 因为∠C的度数等于DAS的度数的一半.但是 DAS-DA+AS. 又 S=BC(平行弦之间所夹的弧相等)， 所以∠APD的度数等于(DA+BC)的度数的一半， 从此得出 圆内角定理圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半。 D 图427 里428 4.圆外角角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的 角叫做园外角.如图428的∠APD. 我们研究圆外角也可从与它相等的圆周角来考虑。过点 C作CS平行于AB,则有 231 ==========第238页========== ∠APD=∠SCD. 因为∠SCD的度数等于SD的度数的一半.但是 SD=AD-AS, 又 AS=BC(平行弦之间所夹的弧相等)， 就是 SD=AD-BC, 所以∠APD的度数等于(AD-BC)的度数的一半。 从此得出 圆外角定理圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半. 例1.如图429的AB和BC的 度数分别是80°和110°.求△ABC 的三内角的度数、 【解】因为一个整圆的度数是360°， .CA的度数=360°-(80°+110) =170°. 图429 因此，得 ∠A=号B0的度数=合×110=55， ∠B=AC的数-는x170-=85,∠c=A的度数는x80P=-40 答：∠A=55°，∠B=85°，∠C=40°. 例2，已知一直角三角形的一直角边和斜边，求作此直角三角形. 已知·线段a,c. ·232· ==========第239页========== 求作直角三角形ABC,使它的斜边AB=c,直角边BC=a. 【作法】如图430.作线段AB=c,以AB为直径画半圆 图430 以B为圆心，a为半径画弧，使交半圆于点C. 连结BC和AC,则△ABC就是所要作的直角三角形. 【证】因为∠ACB是半圆上的圆周角， .∠ACB是直角. y由作图知AB=c,BC=a. ·.△ABC是所要作的直角三角形 例3.在圆周上任取四个点把圆周分成四段弧，求证连结相对两弧的中点的直线互相垂直. 已知P,M,Q,N依次是CD,DA,AB,BC的中点（图 431). 求证PQ⊥MN. D 【证】因为P,M,Q,N是CD, A,B和BC的中点，则有 DP=PC, M-M, BQ=Q4, NB-NC. 图431 ·233· ==========第240页========== 把上面等式的左边和左边相加，右边和右边相加，得 DP+MD+BQ+NB=PC+MA+QA+NC, 就是MP+QN=MQ+PN.等式两边弧的度数，因为它们都 是整圆的度数的一半，所以都等于180° 设PQ与MN相交于S,则圆内角∠MSP等于(MP+ QN)的度数的一半. ∠MSP=号×180=90. 就是 PQMN, 习题44 1.已知圆周角等于22°30'.求它所对的弧的度数2,求分圆周成35的弦上的圆周角的度数 3。求连结圆周上成1：2：3的三个分点所成的三角形的三个内角，4。一条弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，求这弦所对的圆周角. 5.以圆的直径为一边作等边三角形，求圆周被这三角形其他两边截成的三条孤的度数 6.已知圆内接等腰三角形的腰所对的孤为9924'，求等腰三角形的内角、 7.圆上有四个点A,B,C,D,分圆成四条孤，这四条孤的度数的比 为AB:B0:CD:DA=2:3:5:6.求下列相交直线所成的角： (1)AB和CD:(2)BC和AD:(3)AC和BD. 8.如图.过圆外一点N向圆引两条割线MV和P,交圆于4， B,C,D.如果弧的度数的比为AB:BC:CD:DA=4:6:5:9,求 ∠AND. 9.自圆上一点A引直径AB和弦AC,如果： (1)弧的度数之比为AC:CB=7:9;(2)A0的度数比CB的 度数大36°18'：求∠BA0, ·234· ==========第241页========== (第8题) (第10和11题) 10.如图.已知AB是直径，∠1>∠2.求证AC∠2， 12.以大圆的半径为直径作一小圆，求证大圆中过这条半径端点的弦被小圆所平分。 [提示：利用小圆的半圆上的圆周角是直角，从而得到垂直于弦的直径平分这弦，] 3.以锐角三角形的两边分别为直径作圆，求证这两个圆的交点在第三边上. [提示：应用半圆周上的圆周角是直角的性质，] 14.等腰三角形的顶角为56'，以它的一腰为直径作半圆，它被底边分成两部分，求这两条孤的度数. 15,弦AB和CD相交于点M.如果： (∠AMC=89,4C=号Da, (2)∠4MC=55·,BD的度数比4C的度数大62' (3)∠AMC=75',BD:AC=2:3: 求AC和BD的度数. 16.从圆外一点N向圆引割线NBA和NDC,如果： (1)AC的度数是11220'，BD的度数是3340'； (2)AB的度数是120°，BD:DC:CA=1:3:8; (3)AB的度数是38°，D0的度数是72°，BD:AC=3:7; ·235· ==========第242页========== 求两割线所成的角 17,过圆外一点M向圆I两条割线MBA和MDC,如果： (1)∠M=65°，弧的度数之比为BD:AC=4:9: (2)∠M=39°，BD和A0的度数之和为118°； (3)∠M=48°，AB和CD的度数分别是37°和113°； 求BD和AC的度数. 18,已知直角三角形ABC中，∠C=90°、利用半圆周上的圆周角 等于直角，求作下列条件的直角三角形： (1)已知∠A和c边； (2)已知c边和c边上的高h. §45圆内接四边形的性质 如果多边形的所有的顶点都在一个圆上，那末这个多边形叫做圆内接多边形.而这个圆叫做多边形的外接圆.图 432中四边形ABCD是圆O的内接四边形，圆O叫做四边 形ABCD的外接圆. 下面我们来研究圆的内接四边形有哪些性质： 图432 图433 定理1圆的内接四边形的对角互补. 如图4·32的∠A和∠C是四边形ABCD的对角，而它 ・·236・ ==========第243页========== 们所对的弧DC,CB;BA,AD正好是合成一个整圆，所以∠A +∠C=-豆360°=180，也就是∠A和∠C互补.同样道理， ∠B和∠D也是互补的， 定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的对角， 图433的∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠A 是∠DCE相邻内角的对角. 求证∠DCE=∠A. 【证】由定理1可知∠A与∠BCD互补，但是外角 DCE与∠BCD也互补，所以有 ∠DCE=∠A(同角的补角相等). 下面我们来研究怎样的四边形有外接圆： 定理1如果四边形的对角互补，则四边形的四个顶点共圆. 假设四边形ABCD中，∠B+∠D=180°（图434）. 求证A,B,C,D四点共圆， D 90 (1) (2) 图4.34 分析我们已经知道不在一直线上的三点确定一圆.现在通过4， B,C三点作一圆，再讨论这个圆是否通过点D.A,B,C三点的圆对点 ·237、 ==========第244页========== D来看不外乎下面的三种情形之一：(1)点D在ABC圆外；(2)点 D在ABC圆内：(3)点D在ABC圆上. 【证】(1)设点D在ABC圆的外面（图434(1）)，设S 为AD和圆周的交点，连结SC,则有 ∠ASC+∠B=180°. 由题设∠D+∠B=180°. 因此有∠D=∠ASC.但这是不可能的，因为这样就与 三角形的外角大于任一不相邻的内角有矛盾. (2)设点D在ABC圆的内部（图434(2）)，我们延长 AD至圆上S,连CS,则有 ∠S+∠B=180°， 但 ∠ADC+/B=180°. 从此找到了∠ADC=∠S的矛盾结果. (3)前证(1)和(2)都不成立，因此只能(3)成立.就是点 D一定在A,B,C三点所决定的圆上，也就是A,B,C,D四点 共圆. 从本定理的证明，容易得出下面的推论： 推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，则 四边形的四个顶点共圆、 定理2如果立于四边形的一边上的两个顶点的视角相等，则四边形的四个顶点共圆. 如图435中的∠1和∠2是立于AB 边上的两个视角.如果已知 ∠1=∠2， 求证A,B,C,D四点共圆. 【证】请读者仿照定理1的证明方法自己来完成、 ☒435 238 ==========第245页========== 例1，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相 交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于F,G(图 436).求证∠1=∠2. 分析如图.要证明∠1=∠2，可利用∠1是△F形C的外角，∠2 是△GAE的外角，证明它们的不相邻两内角之和相等就可以了. 【证】A,B,C,D四点在 一圆上，ABE和DCE都是直线， ∠ECF是四边形ABCD的一个外 G 角，则有 ∠ECF=∠A, 又EG是∠E的平分线，所以 ∠3=∠4. 因为∠1是△FEC的外角，则有 ∠1=∠4+∠ECF. 因为∠2是△GAE的外角，则有 ∠2=∠3+∠A, 但是∠4+∠ECF=∠8+∠A, 图436 所以 ∠1=∠2.， 例2.设CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC, FQ⊥AC(图437).求证A,B,P,Q四点共圆. 图437 ·239· ==========第246页========== 分析连结PQ.要证明四边形的顶点A,B,P,又共圆，只要证得 它的外角∠1等于它的内角的对角∠A就可以了.要证明∠1=∠A, 可先证得它们都等于∠2.·其中∠2和∠A是同角的余角故而相等， ∠1和∠2是同圆内一条弧上的圆周角，所以也相等， 【证】连结PQ.在四边形QFPC中， FQ⊥AC,FP⊥BC. .∠FQA=∠FPC=d 所以四边形QFPC的四个顶点共圆（四边形的外角等于 它的内角的对角，则四顶点共圆).因此 ∠1=∠2（同弧所对的圆周角相等）. 又题设CF⊥AB,所以∠2与∠QFA互余.但∠A与 ∠QFA也互余， .∠A=∠2（同角的余角相等）. 于是 ∠1=∠A. 由于四边形QABP的外角等于它的内角的对角，所以它 的顶点A,B,P,Q四点共圆. 注意要证明四点共圆，首先要把这四点所组成的四边形连结起来，然后观察它的对角是否互补；或是有一个外角等于它的内角的对角；或是立于四边形的一边上的两个顶点的视角相等， 例3.锐角三角形各边的中点和一边上高的垂足，四点共圆、 假设D,E,F分别是锐角△ABC各边的中点，又点P 是高AP在BC上的垂足（图438）. 求证D,P,E,F四点共圆. 分析连结EF,FD和PE组成四边形DPEF.要证明D,P, ,四点共圆，只要证得∠1=∠3就可以了. ·240· ==========第247页========== 3 2 D 围438 【证】连结EF,FD和PE.因为E,F,D是△ABC各 边的中点，所以四边形EFDC是一个平行四边形，则有 ∠3=∠2（平行四边形的对角相等）， 又AP⊥BC,所以△APC是一个直角三角形，E是斜边 AC的中点，因此PE就是斜边上的中线，就有 PE=EC(§3.9例1已证). 、∠1=∠2. .∠1=∠3. 故而D,P,E,F四点共圆. 习题45 1。下列图形能否内接于圆，为什么？ (1)平行四边形；(2)菱形；(3)矩形： .(4)正方形；(⑤)梯形；(6)等腰梯形 2.在已知角的内部（或外部）任取一点.从这点向已知角的两边引垂线。求证这点、两个垂线的足和角的顶点四点共圆 [提示：本题要分两种情形证明，一种是这点在角的内部，另一种是这点在角的外部。如下图.] 3。如果矩形两对角线相交所成的锐角等于60°，那末它的外接圆的半径等于矩形的短边， ·241· ==========第248页========== (第2题) [提示：先找出矩形外接圆的圆心，再行求证它的半径等于矩形的短边.] 4。一个梯形内接于圆.已知它的一个内角等于50°。求其他各角。 5.已知圆内接四边形的三个内角的度数颜次的比为3：4：6，求它的各个内角。 [提示：设另一角的比数为x,则有3：4：6x.再根据圆内接四边形的对角互补的性质，得方程十4=3十6，由此求出后再求各角的度数.] 6。一梯形内接于圆。它的较大的底边通过圆心，对角线相交成的钝角等于150°.求这梯形的内角. 7.如图.弧的度数的比为B:BC:C=4:2:5,又∠B=120°. 求四边形ABCD的其余三个内角， [提示：设AB:BC:CD:DA=4:2:5:, 根据题设，列出下面的方程： 5+=120 4+260 由此解得x后再求各角的度数.] 8。求证：钝角三角形ABC的各边的 中点和钝角夹边上的一个高的垂足四个点共圆， 9、对角线互相垂直的四边形中，各边的中点在同一个圆周上 (第7题) *10.如图、N,M是△ABC的边AB,AC的中点，MPLA0与 ・22 ==========第249页========== AB相交于P,NOLAB与AC相交于Q.求证四边形PBC?内接于 一圆。 [提示：先证明Y,P,Q,M四点共圆.再利用中位线性质和圆的 内接四边形外角的性质，证得∠1=∠B=∠MQP就可以了.] (第10题) (第11题) 11.如图.AD,BE是△ABC的两条高.求证∠CD=∠B. ④2.过正方形的一对角线上任一点，作平行于正方形两边的两条平 行线，它们和各边相交于四点。求证这四个交点共圆。 直线和圆的位置关系 §46直线和圆的相互位置 从圆的圆心到直线所作垂线的长叫做从圆心到这条直线的距离. 一条直线和圆有以下的三种位置关系（图439）.从圆心到直线的距离可能大于圆的半径.在这种情况下，直线和圆没有任何公共点。例如图439(1)，自圆心0至直线1 ·23· ==========第250页========== 《1)相离 (2)相交 (3)相切 图4.39 的距离OP大于圆的半径OC.因为OP是圆心O至直线1上 任何一点的最短距离，所以可以断定直线？和圆O没有任何 公共点，也就是直线和圆相离， 从圆心到直线的距离可能小于圆的半径.在这种情祝下， 直线和圆相交.例如图439(2)，自圆心O至直线1的距离 OM小于圆的半径OC.显然在直线1上一定有点R,S和圆 心O的距离大于OM而等于半径OC,所以直线1和圆O有两 个公共点R和S. 从圆心到直线的距离可能等于圆的半径.在这种情祝下，直线和圆只有，个公共点. 如图439(3)，自圆心O至直线1的距离0C等于圆的半 径.那末，直线1上任何一点Q和圆心O的距离都大于半径， 因为OQ和OC组成一个直角三角形CCQ,而OQ是这个直 角三角形的斜边，所以 0Q>0C. 因此点Q以及直线？上除去唯一的点C以外其他一切的 点，都在圆O的外面. 所以，这时圆O和直线1只有一个公共点。和圆只有一 、·244. ==========第251页========== 个公共点的直线叫做圆的切线.这个公共点叫做切点. §4·7切线的判定、性质和画法 如果要判定一条直线和圆是否相切，只要能够判定直线和圆只有一个公共点. 假设直线AB是经过圆O的半径OC的外端C,且垂直 于OC(图4,40).能否证明直线AB和圆O只有一个公共 点 因为OC是圆O的半径，而 B 直线AB是过点C垂直于OC的 直线，因此OC即圆心O到直线 AB的距离.由§46知道，从 圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线和圆只有一个公共点. 所以直线AB是圆O的切线， 图440 从此得出切线的判定定理， 定理经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线 反过来，如果已知直线AB是圆O的切线，切点是C,则 AB⊥OC. 【证】如图4·40.AB是圆O的切线，C是切点.所以在 AB上除点C以外的一切点如P,Q,…等等都在圆外，因此 线段OP,OQ,…等等都大于OC,也就是OC是连结O与AB 上任意一点的线段中最短的一条.所以OC是AB的垂线， 也就是AB⊥OC. 从上面的证明又可得切线的性质定理。 ·245· ==========第252页========== 定理1切线垂直于经过切点的半径. 根据切线的判定定理，我们可以经过一点画圆的切线。 (1)已知点C在圆上（图441）， 【作法】连半径OC,过点C作AB⊥OC,则直线AB就 是所要作的切线、 图4.41 图442 【证】直线AB经过点C,并且AB上OC.从切线的判 定定理可知AB是圆O的切线，切点是点C. 我们可以用三角板和直尺画切线（图442）. 【作法】以三角板的直角顶点放在点C上，并使一直角 边沿着半径OC落下，用第二块三角板，使它的一边紧靠着第 一块三角板的垂直于半径OC的那一条边，然后抽去第一块 三角板，过点C沿着第二块三角板的那一边画直线AB,就是 所要作的切线、 (2)已知点C在圆外（图443）. 分析为了经过已知点C画圆O的切线，必须求得切点.假设切线 CP已经画好，P是切点，连结半径OP,则有 OP LPO. 也就是OPC是一个直角三角形，其中斜边0C是定长，直角边OP等于 ·246· ==========第253页========== 已知圆O的半径，所以这直角三角形OCP可以作出，即CP可以作出. 【作法】连结线段OC, 以OC为直径画圆O1,和圆 O相交于两点P和P'.连结 CP和CP',则CP和CP' 都是过已知点C所引圆O的 切线. 【证】因为∠OPC是 圆O1内半圆上的圆周角， 图443 所以∠OPC=d,就是PC⊥ OP.注意到OP是圆O的半径，PC又经过点C,因此证实 PC就是所要画的切线.同理，CP'也是所要作的切线， 我们从上面画切线的过程中可以知道： 如果已知点在圆上，则经过这点可以画这圆的一条切线；如果已知点在圆外，则经过这点可以画这圆的两条切线. 我们规定：自圆外的一点到切线的切点间线段的长叫做 切钱的长。例如图443的CP和CP'都是点C到圆O的切 线的长。 现在我们来研究从圆外一点到圆的两条切线有那些性质： 定理2从圆外一点到圆的两条切线的长相等.这一点和圆心的连线平分两切线所夹的角， 假设C是圆O外的一点，CP和CP'是两切线（图 443). 求证CP=CP',∠OCP=∠OCP'. 【证】在直角三角形OCP和OCP'中，已知 ∠OPC=∠OP'C=d(切线垂直于经过切点的半径)， ·247· ==========第254页========== OP=OP'(同圆的半径相等)， 0C=0C, .△OCP兰△OCP'(斜边和直角边对应相等). ∴.CP=CP',∠OCP=∠OCP'. 例1，如果从圆外一点向圆所引的两条切线的夹角是60°，又圆的半径等于4厘米，求这点到圆心的距离. 已知PA和PB是圆O的两条切线，A,B是切点，又 ∠APB=60°，0A=4cm(图4.44). 求OP的长. ·【解】因为PA和PB是圆 O的切线，所以 ∠AP0-=∠BP0-∠APB. 又 ∠APB=60°， ∴.∠AP0=30°. 图444 连结半径OA,则有 OALAP. 在直角三角形OAP中，因为∠AP0=30°，所以斜边0P 是OA的2倍.已知OA=4cm, ∴.OP=20A=2×4=8(cm). 答：这点(P)到圆心(O)的距离为8厘米. 例2.过圆O外一点M,引圆的 两条切线MA和MB,A,B是切点， 过点B引直径BC(图4·45). 求证AC∥MO. 分析连补助线AB.因为BC是直径， 所以AC LAB.要证明A0∥MO,只要证 得MOLAB就可以了。 图445 ·248· ==========第255页========== 【证】MA和MB都是圆O的切线，A,B是切点.所以 有 MA-MB, ∠OMA=∠OMB. 连补助线AB.从而得△MAB是等腰三角形，并且OM 是顶角M的平分线.所以 OM⊥AB 又BC是直径，∠CAB是半圆周上的圆周角， .∠CAB=d.即AC⊥AB. OM和AC都垂直于直线AB,所以AC∥MO. 例3.P是圆O外的一点，直线PO与圆相交于A,B两 点（图446）.求证线段PA是点P到 圆上各点所引线段中最短的一条.PB 是最长的一条. 分析要证明PA是P到圆周上各点中 最短的线段，只要在圆上取任意点S,连结 PS.能证得PS>PA就可以了.要证明 PS>PA,可以连结半径OS,在△PS0 中，只要证明PS+OS>PO就可以了. 要证明PB是最长的线段，只要证明 PB>PK. .【证】在圆上任意取一点S.连 因4.46 结PS和SO,则在△PS0中有 PS+SO>PO(三角形两边之和大于第三边). 但是 PO=PA+A0, PS+SO>PA+AO. 又S0和AO都是圆O的半径，上式两边同时减去一个 249・ ==========第256页========== 半径后，不等式仍成立，即有 PS>PA. 由此可知，不论S在圆上那一个位置（除点A外），总是有 PS>PA.这样就证明了PA是点P到圆上各点所引线段中 最短的一条。 同样，在圆上任取一点K,连结PK和KO,在△PKO 中，则有 PKR+?(R和”分别表示两圆半径之长). (2)一个圆在另一个圆内（图459(5），(6)，这两个圆称为内含.它们的圆心距小于两半径的差，就是 ABr). 但如果它们的圆心重合时，又叫做同心圆.圆心距AB =0 2.两个圆只有一个公共点只有一个公共点的两个圆叫做相切圆，相切圆的连心线必通过它们的切点（公共点)，这是后面还要证明的， (1)在两个相切圆中，任意一个圆的圆心在另一个圆外(图459(2)，这两个圆称为外切.它们的圆心距等于两圆半径之和，就是 ·263· ==========第270页========== AB=R+r. (2)在两个相切圆中，有一个圆的圆心在另一个圆内（图459<4),这两个圆称为内切.它们的圆心距等于两圆半径之差，就是 AB=R-r (R>r). 3.两个圆有两个公共点有两个公共点的两个圆叫做相交圆（图4·59(3）).它们的圆心距小于两圆半径之和而大于两圆半径之差，就是 R+r>AB>R-r (R>r) 上面叙述的两圆关系的逆命题也是正确的： (1)如果当圆心距AB>R+r,ABr),或 者AB=0时，这两个圆就没有公共点.也就是外离和内含（或 同心). (2)如果当圆心距AB=R+r或者AB=R-r(R>r)时，这两个圆就相切，前者是外切，后者是内切. (3)如果圆心距R+r>AB>R-r(R>r)时，这两个圆相交. 上述这些逆命题都是可以证明的，这里省略了，请读者自己研究和证明 例外离两圆的连心线被截于两圆之间的线段，是两圆间的最短 N 距离. 假设M和N两圆 外离，连心线MN与两 图460 圆相交于点A和B(图460) 求证AB是两圆间的最短距离、 、264 ==========第271页========== 分析要证明AB是两圆间的最短距离，可以在两圆上各任取一点 P和Q,只要证明PQ常大于AB就可以了， 【证】在圆M上任取一点P,在圆N上任取一点Q.连结 MP,PQ和QN,则 MNR .268· ==========第275页========== 因464 时，则改为MP'=一R).同样点P'的轨迹是以M为圆心，(R一r)为半径的一个圆. 【作法】以点M为圆心，分别以(R+)和(R-r)为半径 画两个圆，这两圆就是以”为半径并与圆M相切的圆的圆心 的轨迹. 【证】略. 这个例题表明，与已知圆相切，且有一定半径的圆的圆心，必在本例所说的两个同心圆上· 例3.以已知半径R画一圆，使这圆和已知直线！及已 知圆M都相切， 已知已知圆M,直线Z和线段R(图465). 求作与圆M和直线？都相切的、半径等于R的圆. 分析求作一圆就是要找满足所设条件的圆心的位置，而这圆心是两个轨迹的交点， ·259· ==========第276页========== 先考虑与圆M相切，则所求圆的圆心轨迹是以M为圆心，（十） 为半径的圆（或以k一R为半径.但图中直线1和圆M不相交，故这个 圆用不到.这里飞为圆M的半径). 其次，再考虑与直线1相切，则所求圆的圆心的轨迹是平行于直线 且与它的距离等于R的直线'（亿的另一侧还有一条直线，但本例用不 到它). 那末，这两个轨迹的交点就是所求作的圆的圆心.本例有两个交点 0:和O2,则以O1和O2分别为圆心，以R为半径的两个圆，都是所要画 的圆. 图465 【作法】以M为圆心，（飞+R)为半径画圆.再画平行于 直线{且与1的距离等于R的直线'，以它们的交点(O1和 O)为圆心，R为半径画圆，则这两圆（圆O1和O2)就是所要 画的圆. 【证】请读者自己来完成. 注意在本例中，如果改变已知条件或已知图形的相对位置，则所 ·270· ==========第277页========== 求的圆的个数也有改变.最多时可以画出8个合于条件的圆，最少时就画不出合于条件的圆. 习题413 1。相交两等圆的圆心对公弦所张的视角为120·.如果两等圆的半径为"，求圆心距之长 ,2」如图.圆M和V相切于P.过P作直线与两圆相交于A和 B,连结MA和NB.求证MA∥NB [提示：连结MN,设法证明∠MAP=∠NBP.] a (第2题) 3.求作一圆，切已知圆于已知点，并过另一已知点. [提示：考虑切已知圆已知点的圆的圆心的轨迹，再求与切点和另一已知点有等距离的点的轨迹.这两个轨迹的交点就是求作的圆的圆心.] 4.如图.过外切两圆M和N的切点O,画一直线与两圆相交于A 和B.AP和BQ都是切线.求证AP∥B?. [提示：.连结MY,MA和NB线段.] 5,如图.M和N两圆外切于P,又AB和CD是平行的两条直 径.求证B,P,C在一直线上；A,P,D在一直线上 [提示：连结MN,连PB,PC,PA和PD线段.利用∠1=∠2， 设法证得∠BPM=∠NPC,那末就可证明B,P,C在一直线上了， 同样可证得A,P,D在一直线上.] 271 ==========第278页========== B D (第4题) (第5题) 6.画出下列的图形： (第6题) 7.两个半圆相互外离，它们的直径在一条直线上.直径的外端点相距24厘米，内端点相距4厘米.求两圆的圆心距之长 8.如图.A,B是两圆的两个交点，PAQ和RBS分别在两直线 上，P,R,Q,S都分别在两圆上.求证PR∥QS. [提示：连结公弦AB,先证得∠1=∠2=∠P,即可证得PR∥ e9.] R (第8题) 272· ==========第279页========== §4·14两圆的公切线 我们常常看到一条直线同时和两个圆相切的情形，例如拖拉机的履带和轮盘相切，传动带和轮子相切（图466） (1) (2) 图4.66 一条直线和两个圆都相切，这条直线叫做这两个圆的公切线 如图4氏61)，两个圆在公切线同旁时，这条公切线叫做外公切钱.如图466(2)，两个圆在公切线两旁时，这条公切线叫做内公切线，一条公切线上的两个切点间的距离叫做公 切线的长.例如图467中AB线段的长就是这两圆的公切 线的长. 要画两个圆的公切线，可以先画一个草图4·67，以便分析它的作法. 图467 .273・ ==========第280页========== 假设两圆M和N的公切线AB已画好，那末MA和NB 都垂直于AB,所以从N画NP平行于AB,交MA于P,我们 就得到矩形APNB.由此可以看出，NP是以M为圆心、MP 为半径的圆的切线，而半径MP=MA一PA=MA-NB,就 是两个圆的半径之差.因此我们可以先画出NP,再画出公切 线AB. 【作法】以M为圆心，(MA-NB)为半径画圆（图4.67）， 再从N画这个圆的切线NP,P是切点.连结MP,延长MP 交圆M于A.过点A画直线AB平行于PN,则AB就是所 要画的公切线. 用同样的方法，可以画出另一条公切线A'B'. 如果要画两个圆的内公切线，只要看矩形PABN(图 468).先画出以M为圆心、(MA+BN)为半径的圆，然后按 照前面的方法从N画这个圆的切线NP,P是切点.连结MP, 和圆M相交于A.过点A画直线AB平行于PN,那末AB 就是所要画的内公切线。用同样的方法还可以画出另一条内 公切线A'B, 图468 注意我们画两个圆的公切线时，总是以较大的圆的圆心为圆心， ·274· ==========第281页========== 先画一个辅助圆.如果要画的是外公切线，那末辅助圆的半径等于两圆半径的差；如果要画的是内公切线，那末辅助圆的半径等于两圆半径的和.辅助圆画好后，再从较小的圆的圆心作辅助圆的切线，连结切点和较大圆的圆心的线段，使与较大圆相交于一点（画外公切线时要延长)，然后过这交点画辅助圆的切线的平行线，就得到所要画的公切线.总之，画外公切线和画内公切线的方法是一样的，只是辅助圆的半径不同。 §4·15直线和弧、弧和弧的吻接 1.直线和弧的吻接在设计和绘制工程图样、绘制机器零件图样时，常常需要把直线和弧平滑地连接起来.例如图469所示的跑道、机械零件、鼓风机外壳等的图样，都需要把直线和弧平滑地连接起来. 跑道 机械零件 鼓风机外壳 因469 一条直线过一条弧的端点，并且在这点和弧相切，如果直线在这点平滑地和弧连接，这种连接叫做直线和弧的吻接。画直线和弧的吻接，有下面的儿种基本情况： (1)画一条直线，和一条已知弧吻接. 要画一条直线和已知弧吻接，实际上就是在弧上指定吻 接的那一点，画弧的切线.如图470，先求得AB的圆心O, ·275· ==========第282页========== 连结吻接点和圆心的半径OA,经过点 A画AP⊥OA,这样AP就是AB在点 A的切线，曲线BMAP就是所要画的直 线和弧的吻接. 注意曲线BMAQ就不称吻接，因为这 样已不是平滑地和孤连接了 (2)画一条线段，使它和两条已知孤吻接。 图470 这问题实际上就是画两已知弧的公 切线、有时要画两弧的外公切线，如图471的(1)；有时要画这两弧的内公切线，如图4.71的(2). (1) (2) 图4.71 注意象图(1)只能画两弧的外公切线来吻接，并且不能规定吻接点。象图(2)只能画两弧的内公切线来吻接，也不能规定吻接点.当然，如果两弧的位置改变了，外公切线和内公切线都可以用来吻接它们，但是有时两弧也会找不到吻接的线段， (3)画一条弧，使它和两条已知直线吻接. 这问题实际上就是画一个圆和两条已知直线相切.例如：()画半圆弧和两条已知平行线吻接（图472），作矩形 ABCD,以AD和BC为直径，向两侧画半圆弧就吻接好了. ·276 ==========第283页========== 注意用圆弧吻接两条已知的平行线，一定是用两平行线间的距离之长为直径的半圆。 P 图472 图473 ()画定半径的弧使它和两条已知的不平行直线吻接(图473). 如图中AB和CD不平行，分别画它们的平行线，使它们 和原直线的距离都等于定半径R,得交点O.再以O为圆心， 定半径R为半径所画的弧PMQ就是所求的吻接弧. 注意在本例中，如果不规定半径，则要画的弧有无穷多个，2。弧和孤的吻接同直线和弧的吻接一样，弧和弧的吻接也有广泛的应用（图4·74）. 图4.74 一条弧过另一条弧的端点，并且在这点的两弧相切，如果这两弧是平滑地连接着，这时称为两孤吻接. ・277 ==========第284页========== 画定半径的孤，使它和一条已知弧吻接，实际上，这就是画已知半径的圆和已知弧相切（内切或外切）于一定点、 如图475，已知弧AB,求在点B吻接一弧，使它的半径 等于定长R, R R-ov (1) (2) 图475 【作法】先求得弧AB的圆心M,连结MB.在MB上 取一点N使NB=R(图4·75(1)，以N为圆心，NB为半径画 BC弧，则曲线ABC就是所要画的吻接的弧. 用同样的方法面图475的(2)，只要把圆心点N取在 MB的延长线上，使NB=R,画弧BC,就可得到两弧吻接的 曲线ABC, 【证】根据两圆相切和圆心距的关系，读者试自己证明.例1.求证两圆的外公切线的长相等 假设AB和A'B 是两圆M和N的两外公 P 切线，且AB和A'B 不平行（图476）. 求证AB=A'B′. 图4.76 分析因为AB和A'B不平行，延长它们使相交于点P,再利用 ·278· ==========第285页========== 一点到圆的两切线之长相等的性质，即可证得AB=A'B', 【证】延长AB和A'B',使相交于点P,因为AB和 A'B“都是两圆M和N的公切线，所以有 PA-PA', PB=PB'。 上面两式相诚，即得 PA-PB-PA'-PB', 就是 AB-A'B'. 如果两外公切线平行，那末怎样证明它们相等呢？请读者自己来完成 例2.汽车厂里常要把长方形铁板的四个角，截成一定半径的弧做样板。 假设长方形铁板宽15厘米，长30厘米.四角截成5厘米为半径的弧（图477）.按1：5的比例尺画出. 30cm- R=ic血 按1：5比例尺 图477 【作法】依照1：5的比例尺，先画出长方形，使它的宽为3厘米，长为6厘米. 再在四个角的地方以1厘米为定半径画弧吻接直角的两边，这样就完成了样板的图案。 ·279· ==========第286页========== 习题415 1.求证两圆的内公切线之长相等. 2.如果两圆的外公切线互相垂直，两圆的半径分别为15厘米和40厘米.求外公切线的长， 3.已知两圆的半径分别为4厘米和6厘米，它们圆心间的距离为20厘米.求它们的内公切线所成的角 [提示：利用直角边是斜边之半来求出锐角的度数.] 4.画出半径为3厘米和5厘米，圆心距为10厘米的两圆的内公切线和外公切线. 5.如果两圆的外公切线成120°的角，又它们的圆心距为8厘米，求外公切线的长 [提示：利用30°角所对直角边等于斜边之半.] 6。两圆的内公切线如果成120°的角，又内公切线的长为a厘米，求两圆的圆心距. 7.半径等于9毫米和21毫米的两圆的内公切线互相垂直，求内公切线的长 8,求证两等圆的外公切线互相平行。 9.用一条弧连结两条互相垂直的直线，吻接孤的半径是不是可以任意的长？通过画图来回答这个问题. 10.作出下图中的等边三角形的吻接弧，使各角的吻接点 P AP=AR=是AB. (解答画法时要说明吻接弧的圆心的画法.) (第10题) 11.画出已知正方形的四个角的吻接弧，使吻接点离顶点的距离等于边长的五分之一 12。如图.某公路的方向要改变60°的角，连接公路的弧的半径之长为10米，按1：500的比例尺缩小，画出公路的吻接弧。 ・280 ==========第287页========== G (第12题) (第13题) 13.用如图所示的方法画三心曲线.其中AC=CD=DB=CG= DG,又AE,BF,FB的圆心分别是C,G和D. 14.铁路线进站处铁轨分成两条，如图所示.又AB和BC的度数 都是45°，它们的半径为2厘米.画出这个图. (第14题) (第15题) 15.用图示的方法画渐伸线，其中ABCD是正方形，C1的圆心是 B,12的圆心是A,23的圆心是D…,照此推下去 孤和角的关系 §4·16在已知线段上作含有已知圆周角的弧 我们在§4·4圆周角定理的推论2里，已经知道同-一条弧上的圆周角都相等。就在这个推论的基础上，我们提出在已知线段上作含有已知圆周角的弧.下面就来讨论它的作法： ·231· ==========第288页========== 假设已知线段a和角e(图4.78). 求作一圆弧，使它所对的弦是线段a,弧上的圆周角等于∠e. 图4.78 分析要画圆弧关键是找到这个圆弧的圆心.图4·78中AB=, 因为AB是所求弧所对的弦，因此这弧的圆心与AB的两端点是等距 的，可知圆心应该在AB线段的垂直平分线MN上.又自AB的端点 B作BD和这圆弧所在的圆相切，因此有 ∠DBA=∠C=∠e. 那么自点B作直线BT⊥BD,则BT必经过这圆弧的圆心.所以MN 和BT的交点O就是所要画的弧的圆心 【作法】画线段AB=a,作MN垂直平分AB.过点B作BD使∠DBA=∠e.过B作BT⊥BD,使BT和MN相 交于O.以点O为圆心，OB为半径画圆，则弧ACB就是求 作的弧. 【证】在圆弧上取任意点C(A,B除外)，连结AC和 BC.圆周角C等于AB的度数之半.又从作法可知BDL OB,OB是圆的半径，所以BD是圆的切线，因此弦切角DBA 也等于AB的度数之半.可见∠C=∠DBA,但是∠DBA =∠e,所以∠C=∠e。 ·282· ==========第289页========== 注意上面证明里的叙述方式和以前的证明的叙述方式有些不同·前面的格式是分行书写的，理由用括弧注在结论后面，在这里则把有些理由插入叙述中，并且在结论之前，对某些显然的事实，就不再叙述理由了.希望读者在熟悉前面的叙述方式以后，逐步练习这里所介绍的叙述方式，因为后面的叙述方式要比前面的更清楚些。 §417基本轨迹 根据圆周角定理的推论和上节圆弧的作图，我们就可以研究点的轨迹是圆孤的基本轨迹， 定理和已知线段的两端点连线的夹角等于已知角的顶点的轨迹，是以已知线段为弦，并含有已知圆周角的两个弧. 假设AB是已知线段，孤APB上的圆周角等于已知 ∠1（图479）。· 图479 求证点P的轨迹是以AB为弦并含有圆周角1的两个 ·283· ==========第290页========== 弧APB和AKB. 【证】(1)在含有∠1为圆周角的弧上任取一点P(A, B除外)，连结AP和BP,则有∠APB=∠1、也就是说，弧 上的一切点(A,B除外)对AB线段的视角都等于∠1、所以 弧上各点都符合条件的. (2)如果在AB的上方且在弧APB外（或是AB的下 方且在弧AKB之外)任取一点Q,并连结AQ和BQ.又BQ 和弧APB相交于P',连结AP'.因为P'在弧APB上，所 以∠AP'B=∠1.又因∠AP'B是△AP'Q的外角，可知 ∠Q<∠AP'B,即∠Q<∠1.这样就证明了在弧APB外的 任一点都是不符合条件的. 同样，在孤APB和弧AKB之间任取一点Q',也可证明 ∠AQ'B大于∠1.就是在弧APB和AKB之间的任一点 也都是不符合条件的. 至此，已证明点P的轨迹是以AB为弦，且圆周角等于 ∠1的两个弧APB和AKB. 下面举几个例子来说明本轨迹定理在作图上的应用，例1，已知线段a,ha和∠A. 求作一三角形，使它的一边等于a,a边上的高等于h。和a边对角等于∠A(图4·80)， 图480 .284 ==========第291页========== 【作法】(I)画BC=a.以BC为弦，作出含圆周角等 于∠A的圆弧（如图480）. (2)作BC的垂线PQ,并使PQ=ha,过点P作BC的 平行线和孤相交于A和A'. (3)·连结AB和AC(或A'B和A'C),则△ABC(或 △A'BC)即为所要画的三角形， 【证】从作法可知BC=a,∠BAC=∠A.过A作BC的高AD,因为PA∥BC,又PQ=ha,所以AD=PQ=ha. 注恋本例中合于条件的三角形有△ABC和△A'BC,但是这两 个三角形是全等的，所以我们只算作出一个三角形，也就是说本例的作图是一解. 又，本例的作图方法是利用两个轨迹的交点来决定三角形的第三 个顶点A的.其中轨迹之一是含有已知角A的圆弧BAC,轨迹之二是 平行于BC且有已知距离h,的直线PA.直线PA和弧BAC的交点 A和A',就是要画的三角形的第三个顶点， 例2.已知线段a,h,和∠A. 求作△ABC,使BC=a,∠BAC=∠A,AC上的高等于h.（图481). 田481 【作法】(1)画BC=a,以BC为弦画含圆周角等于 ∠A的圆弧（如图481）. 285・ ==========第292页========== (2)已知BE LAC,且BE=h,因此以BC为直径画 半圆，再以B为圆心，，之长为半径画弧，和半圆相交于E. (3)连结CE和BE、并延长CE,与前面画的弧相交于 点A.连结AB,则△ABC就是所要画的三角形. 【证】从作法可知，BC=a,∠BAC=∠A,又点E在半圆上，所以∠BEC=d,且BE=h. 注意条件中直角边应小于斜边，否则△ABC作不出来 习题4·17 1.在已知线段a上，作含下列圆周角的弧：(1)30°，(i)45°，(iii)60',(iv)120° 2,求在已知线段上的视角等于：()50，(ii)75°，(iii)135°的角的顶点的轨迹 [提示：利用基本轨迹定理作出轨迹，不必证明.] 3,在已知直线上（位置-一定的直线）求一点，使它与已知线段（位置和长短都一定)的端点连线所成的角等于已知角、 [设如图.已知直线7和线殷AB.又已知角∠，在直线l上求作一点，使这点对AB的视角等于∠a. 作法：作出以AB为弦，并含圆周角a的圆弧，这圆弧和直线1的 交点P和P'即为所求的点。 (第3题) 证：因为点P和P'都在含∠a的圆弧上，所以 ∠APB=∠AP'B=∠a.] ・286 ==========第293页========== 4。已知等腰三角形的顶角和底边，求作此等腰三角形。 [提示：以它的底边为弦，作含已知顶角的圆弧，再利用等腰三角形的性质找到它的顶点.] 5。已知三角形的一边和对角以及这边上的中线，求作这个三角形。6。已知两对角线和一内角，求作平行四边形。 (第6题) (第8题) 7。在已知圆上求一点，使它与已知线段的端点连线所成的角等于60· 8.如图、点A是半圆外的一点，AB和AC分别和半圆相交于， E。则BE和CF的交点丑是三角形LBC的垂心（三高的交点）. 9。已知三角形的一边和另两边上的两个高，求作这个三角形. 10.设知图所示.求一点P,使它与已知的∠AOB的两边的距离 相等，并对于定线段EF的视角（∠EPF)等于60·. 8 E (第10题) (第11题) ·237· ==========第294页========== [提示：先考虑和∠O两边等距离点的轨迹在哪一条直线上，再考 虑要视角∠EPF等于60·的点的轨迹.求这两个轨迹的交点，] 11.设如图所示.求一点P,使它和定线段AB的两端等距离，并对 于定线段EF的视角等于75· 12,设如图所示，求一点P,使它和一定点Q的距离等于已知距离 1,并与线段AB的视角等于105·， 卧 (第12题) (第13题) :·13.设如图所示，求一点P,使它和两已知平行线的距离相等，并与 线段AB的视角等于90° 14.设如图所示.求作一三角形，使它的底边为已知线段BC,顶角 A等于60°，并使顶点A与已知直线1有已知距离d. (第14题) ·288· ==========第295页========== 本章提要 1.概念 圆心角，圆周角，圆内角，圆外角，弦切角： 圆内接多边形，多边形的外接圆，三角形的外心和垂心： 圆外切多边形，多边形的内切圆，三角形的内心，三角形的旁切圆和旁心； 直线和圆的关系：相离，相交，相切；切线，外公切线，内公切线： 两圆的关系：外离，内含（同心圆），外切，内切，相交：连心线，圆心距； 直线和孤吻接，孤和弧吻接 2.性质 (1)垂直于弦的直径的性质：()垂直于弦的直径平分这弦和它所对的两条孤；()弦的垂直平分线经过圆心，且平分这弦所对的两条弧；()平行弦之间所夹的孤相等 (2)在同圆或等圆中弧、弦、弦心距之间的关系： 弧 弦 弦心距 等 等 (≤芈圆) 大 较小 (3)和圆有关的角的度量：()等圆心角对等孤，逆命题也成立：(i)圆心角定理；(ii)圆周角定理和推论1和2；(iv)圆内角定理；(v)圆外角定理；(v)弦切角定理 (4)圆内接四边形的性质：()对角互补；()外角等于它的内角的对角， (5)圆的切线的性质：()切线垂直于经过切点的半径；(i)圆外 一点到回的两条切线长相等，这点和圆心连线平分两切线所夹的角. 289・ ==========第296页========== (6)圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和相等 (7)两圆公弦的性质：如果两圆有一交点不在两圆的连心线上，则必有第二个交点；推论：相交两圆的连心线垂直平分其公弦 (8)两圆连心线的性质：相切两圆的连心线必过切点。 3.判定定理 (1)圆内接四边形的判定：()对角互补，(i)外角等于内对角，(ii)立于一边上的两视角相等. (2)切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线 4.计算和作图 (1)计算：和圆有关的角的度量.一点到圆的切线长 (2)作图：()切线，()三角形的外接圆，(ii)三角形的内切圆和旁切圆，(v)两圆的公切线，(v)直线和弧、弧和孤的吻接，(vi)简单的直线和圆、圆和圆相切的作图. 5.基本轨迹和已知线段的两端点连线的夹角等于已知角的顶点的轨迹一是以已知线段为弦，并含有已知圆周角的两个弧， 复习题四 、1.怎样的两个圆只有一条公切线？二条呢？三条呢？四条呢？ 2.圆的内接平行四边形一定是矩形吗？为什么？ 3.圆的外切平行四边形一定是菱形吗？为什么？4,怎样判定两圆相切？ 5.三角形的内心和旁心的连线一定经过三角形的一个顶点，为什 么？ )6。我们知道两条平行的弦所截的弧是相等的.如果是一弦和一切线平行，它们截的弧相等吗？两条平行的切线呢？7、圆的内接梯形一定是等腰梯形吗？ 多8.如图.圆O:和圆O,外切于P,AB是外公切线.求∠APB的 度数. [提示：过点P作两圆的内公切线PM,它和AB相交于M。再 应用点到圆两切线相等的性质，即可求得∠APB,] ·90· ==========第297页========== (第8题) (第10题) 9.在半径为”的圆上取60·的弧，它所对的弦有多少长？如果弧的度数从60°增加到180°，则弧所对的弦如何变化？ 10.如图.两圆M,N相交于P,Q,而S是MN的中点，过P作 垂直于SP的直线和两圆相交于A,B.求证PA=PB. [提示：过M,N向AB作垂线MC和ND,只要证得CP=PD 就容易了.] 11。圆内有两相交的弦，一条弦对162·的弧，另一条弦对43·的弧.如果小弦的端点分大孤成1：5两部分，求这两弦所成的锐角 12。两等圆相交于A,B两点，过A作一直线和两圆分别相交于C, D两点，求证BC=BD [提示：先证明∠BCD=∠BDO.] 3。过圆内接等腰三角形的顶点引圆的切线，求证它和等腰三角形的底边平行 14。如图.已知圆的直径AB的两端和切线CD的距离为1厘米和 3厘米.求直径AB的长和弧AE及弧EB的度数， 15.作一个圆和两已知的平行直线及一已知圆相切 [提示：设如图.先求得和平行直线，2有等距离的点的轨迹，再 以(R+)为半径，画圆M的同心圆，这两个轨迹的交点P和P,就是 所求作的圆的圆心.再以d为半径作圆即得.] 16.过圆上一点A,引直径AB和弦AC,已知∠BAC=30°.过 C引圆的切线和AB的延长线交于D.求证△ACD是等腰三角形。 17、从圆上一点引两条弦，一条弦分圆成3：5两部分，另一条弦分圆成1：9两部分。求这两弦所成的角。[注意，本题有两种情形.] ·291· - ==========第298页========== 3cm 3 (第14题) (第15题) 18.具有怎样条件的四个点在同一个圆上？ 19.从半径等于r的圆上的一点引两条弦，它们的夹角为30°.求它们的端，点之间的距离，*20.作一个圆使它 (1)切已知圆于已知点且和已知直线相切. (2)切已知直线于已知点，且和已知圆相切， [提示：（1)如图.已知圆M,直线1，和圆M上的已知点A.求作 一圆，切圆M于点A,并与直线1相切. 作法：i.所求圆的圆心轨迹在直线MA上（相切圆的连心线必过切点). (第20题(1) ·292· ==========第299页========== i.过A作圆M的切线AO与直线1相交于O.作AO与1所成 两角的平分线，和MA相交于P和P,则P和P'即求作圆的圆心。 i.以P和P'为圆心，分别以PA和PA为半径作两圆P和P,这两个圆即为所求. 证：读者自己完成 注意：本题一般可作出2个符合条件的圆. (2)如图.已知圆M,直线1和1上定点A.求作一圆切直线1于 点A,并与圆M相切. 作法：参考附图.] (第20题(2) 21.在直线上依次有A,M,N三个点，其中已知AM=2.4cm,MN 一5.8cm.以A为圆心，5.3cm为半径画圆，再分别以M和N为圆心，并同以2.9cm为半径画圆.研究这三个圆之间的相互位置关系. 22.圆内接四边形ABCD的对角线AC和BD相交于K.已知 ∠AKB=110°，AB的度数为140°，并知BC=CD.求四边形的内角. 23.求作一圆使它通过两已知点，且它的圆心在已知直线上. 24.四边形ABCD内接于圆.∠B和∠D都是直角，它的两对角 线相交于K,如果∠AKB=58,弧AB的度数为46·.求∠BAD和 293・ ==========第300页========== ∠BCD. 25。已知矩形的边长为a和b.在被一条对角线分成的两三角形内作两个内切圆.求这对角线上两切点间的距离 [提示：设圆的半径为”，矩形的一顶点到两个切点的距离分别为(a-r)和(b一r).] *26.如图.已知直线外的一定点P,求自P向直线作两直线PA, PB,使截l直线等于定长线段a.并使∠APB=45°。 p (第26题) [提示：参考图形，考虑画法， 其中PQ∥Z,PB2∥PB,PA∥P",PA:∥P,B',PB1∥P4'. 又A'B'=a,孤'P:P,B是以A'B'为弦含45·圆周角的弧.] 46 B2 (第26题提示图) ·294· ==========第301页========== 总复习题 鏖1.周长等于12厘米的三角形被一高分成两个三角形，已知它们的 周长各等于？厘米和9厘米.求三角形的这个高. 美2。在一条直线上的三条线段，它们有着同一个起点.第一线段的终点是第二线段的中点，而第二线段的终点又是第三线段的中点。已知这三条线段的和是21厘米.求各线段的长. 3.四条直线最多能有几个交点？六条直线呢？ 囊4，长等于38厘米的线段被分成不相等的四部分，它的两端两部分中点之间的距离是29厘米，求中央两部分中点之间的距离 45.如图.点A,B,C,D是在一直线上的四点，且有AB=BC =CD.又线段AA',BB',CC',DD'同垂直于直线乙，其中A,B, C',D'是垂足.已知AA'=8cm,DD'=5cm.求BB和CC'之长. [提示：应用梯形的中位线性质，并列出方程组求解.] B (第5题) (第6题) 6.如图.在△ABC中，PQ∥RS∥BC,又AP=PR=RB.已 知RS=7.6cm.求PQ和BC的长. 7.如图.ABCD是平行四边形，AA'∥DD'∥BB'∥CC各与直 线I相交于A,D',B',C.求证A+CC'=DD'+BB. ·25· tn心小二心5.-。 ==========第302页========== (第7题) [提示：过口ABCD的对角线的交点O作平行于AA的线段O0'.] 8.如图.点C是线段BD上的任-…点，以BO,CD为一边向同 侧作等边三角形BCA和等边三角形CD.又AC与BD相交于P, AD与CE相交于？.求证CP=CQ. [分析：要证明CP=CQ,必须证明△PCE≌△QCD.但是 △PCE和△QCD只有∠PCE=∠QCD=60',CE=CD,要全等还 缺少一个相等的条件.因此又必须先证明△BCE≌△ACD,由此得 出对应角∠CEP=∠CD见，因而△PCE≌△QCD. 证：在△BCE和△ACD中，BC=AC,CE=CD, 又∠BCE=∠ACD=120°.∴.△BCE≌△ACD. .∠CEP=∠CD2. 又∠PCE=∠QCD=60°，CE=CD..△PCE≌△Q0D. :CP=CQ.] (第8题) D (第9题) 9.如图.在△ABC上，以AB,AC为一边向外作等边三角形 ABR,ACP,又以BC为一边向内作等边三角形BCQ.求证APQR是 296 ==========第303页========== 一平行四边形 [提示：可证明图上三个阴影的三角形全等，从而得出PQR的两 双对边相等.] 10.如图.在△ABC上，以AB,AC为一边向外作正方形ABDE, ACFG.连结线段BG 和C亚. 求证(1)BG=CE; *(2)BG⊥CE [提示：(2)设BG和 AD相交于S,BG和CB 相交于K.试比较△BAS 和△EKS的内角，证得 ∠BKS是一个直角就可 (第10题) 以了.] 11.如图.在△ABC中，AB=AC,P是BO上的一点，PF⊥ AB,PG⊥AC,BE⊥AC.求证PF+PC=BE, [提示：过P作平行于AC的线段PS,它与BE相交于8.只要 证得△PSB≌△BP就可以证得结论了.] & s G (第11题) (第12题) 12.、如图.△ABC是等边三角形，又AF=BD=CE.AD,BE, CF相交于G,H,K三点.求证△GHK也是等边三角形 ·297· ==========第304页========== [提示：先证明△ADB二△BBO≌△CFA,再证明△AFK≌ △BDG2△CEH,从此证得KC=GH=HK.] 13.如图.P,R,M,N分别是正方形CDAB各边的中点，又线段 N,BP.CR,DM分别相交于G,丑，K,F.求证GHKF是一个正 方形. 的 G B B (第13题) (第14题) 14.如图.过△ABC的顶点A分别作∠B和∠C的平分线BP 和CQ的垂线AP和AQ,P和Q是垂线的足，连结QP.求证QP∥ BC. [提示：延长AP交BC边于S,延长AQ交BC边于K.在△AKS 中，设法证明P,Q分别是AS和AK的中点，再应用三角形的中位线性 质就可证得QP∥BC.] 15.如图.四边形BCD的对 D 角线AC⊥BD.又M,N,P,Q分 别是AB,BC,CD,DA的中点. 求证M,N,P,这四点共圆. [提示：设法证明MNPQ是一 个矩形.] ·16.如图.两圆M和N外切于 C,PC是内公切线，P是PC上的 任意一点，PS是P至圆M的切 (第15题) ·298· ==========第305页========== 线，PR是P至圆N的切线.求证PS=PR. p (第16题) (第17题) 17.如图.两圆M和N相交于P,Q,PR和PS分别是圆M和 N的直径.MN是两圆心连结的线段，求证： (1)R,Q,S三点在一直线上；(2)MN=R8. [提示：连结公弦PQ和两弦RQ,QS,证明∠PQR+∠PQS= 180°.1 18.如图.两圆M和N内切于C.过C作大圆的两弦CB,CE, 分别交小圆于A,D.连结BE,AD.求证BE∥AD [提示：过切点C作外公切线CT,利用弦切角和圆周角定理证其 同位角相等就可以了.] 心 B (第18题) (第19题) 19.如图.A,B是直线PQ异侧的两点，O是P?上的一点，且有 ∠AOQ=∠BOQ,AO>B0,C是PQ上的异于0的一点，求证A0 ··299· ==========第306页========== -BO>AC-BC. [分析：因为A0>BO,可于0OA上取点B,使OB'=OB.因为 ∠AO视=∠BOQ,所以B和B'关于P?对称.连结B'C,则有B'C =BC.因此求证的AO一BO>AC-BC,就是AB'>AC一B'C.而 这三条线段正好是△ABC的各边.从三角形内的两边之差小于第三 边即可证得结论. 证：于OA上取点B',使OB=OB.因为∠AOQ=∠BO2,可知 B和B'关于直线PQ对称.连结BO,则有B'C=BC.在△AB'C 中，则有AB>AC-BC.但是AB=A0-OB=A0O-B0.∴.AO -BO>AC-BC(.B'C=BC). 20,如图.B,C是线段AD的两个三等分点，P是线段AD外的 任意一点，连结PA,PB,PC,PD求证PA十PD>PB+PC, [提示：把DP线段平移至BP'的位置，连结AP',则有BP'= DP,AP'=CP.因此求证可改为PA+P'B>PB+P'A.这样就容 易证明了.] (第20题) (第21题) 21.如图.△ABC的边AB=AC,D是AC延长线上的一点.求证 ∠ACB=(∠ABD+∠D). [证：在△ABC中，因为AB=AC,所以∠ACB=∠ABC.义 ∠ACB是△CBD的外角，所以有∠ACB=∠CBD+∠D.(1) 又∠ABC=∠ABD-∠CBD,即∠ACB=∠ABD-∠CBD. (2) ·300· ==========第307页========== 由(1)+(2)，得2∠ACB=∠ABD+∠D, ·∠4CB=(LABD+∠D).1 22.自△ABC的顶点A作BC边上的高和∠A的平分线.则此 t. 高和角平分线所夹的角等于∠B与∠C之差（大的减去小的）的一半。 [提示：依题目的条件先作一个图，再参照21题的证明方法.] 23.以直角三角形ABC的直角边AB为直径作圆交斜边BC于D: 过D作这圆的切线，如果与AC的交点为E.则点E平分AC(即求 证EA=DC). 24,如图.圆I是△ABC的一个旁切圆，切点是P,R,Q.已知 △ABC的周长等于26厘米.求AP的长 P B (第24题) (第25题) 25.如图、两圆内切于P,外圆的弦AB与内圆相交于C,D,求证 ∠APC=∠DPB [提示：过切点P作外公切线PQ,先证明∠CP2=∠CDP, ∠APQ=∠ABP,再设法证得结论.] 26.设LBCD是圆O的内接四边形，LB和CD的延长线交于圆 外一点M,过A,C,M作圆O',并延长BD两端交于圆O'的弧上E 和F.求证M是EF的中点. 27.如图.梯形ABCD中，AD∥BC.又AD+BC=AB.求证 ∠A和∠B的平分线都经过DC的中点. [提示：先作∠A的平分线与DC相交于M,延长AM与BC的延 ·301· ==========第308页========== 长线相交于S.先证得BA=BS,从而推知CS=AD.再证明△ADM 二△SCM.这样就证明了∠A的平分线过DC的中点M.然后再利 用等腰三角形顶角的平分线平分底边的性质来证明∠B的平分线也经 过点M.] (第27题) *28.已知一三角形的周长等于线段1.两个内角等于∠1和∠2，求作这个三角形. (第28题) [提示：如图.设△AB'C'已经作成，则它的周长等于1.延长 B'C,使BP=BA',C'Q=CA.则PQ=l.又∠A'B'C=∠1， ∠ACB=∠2.连结4P4Q,则有∠P=∠1，∠Q=∠2. 在△A'PQ中，已知∠P和∠Q,PQ=l,所以可作出.然后再决定B 和C就容易了.] ·302· ==========第309页========== 29.已知梯形的两底和两对角线，求作此梯形 [提示：如图.平行移动对角线BD至AS的位置，可知△ACS已 知三边之长可先作出.以它为基础再作出梯形ABCD就容易了.] B (第29题) 30。已知菱形的两对角线之长，求作此菱形 *31.已知圆M外的一点P,求过P作圆M的割线，使截于圆内的 弦等于已知长1. [提示：如图.在圆M内作任意弦使它等于，作函M的同心圆 使与弦？相切. 过P作小圆的切线PB和PD,则大圆的弦AB和CD都等于定 长1.割线PB和PD即为所求.] (第31题) 32.巳知一圆M,直线1和一点P,设如图所示的位置.求自P作 一直线使它截于圆M和1直线间的线段被点P所平分. [提示：如图，过P作RPS⊥l,并使PR=PS.过R作平行于直 线1的直线'，和圆M相交于A,!.则APB和'PB'即为所求.] ·303· ==========第310页========== 华 。 ·p B R B (第32题) 304・ 八 。。。 ==========第311页========== 习题答案 绪 论 习题1.例如铅笔匣子是一个物体，但如果只研究它的形状和大小，而不管其他性质时，就可以把铅笔匣子看做是一个长方体形状的几何体. 2。有6个面，12条棱，8个顶点. 第一章 习题1·11.因为经过两点可以确定一条直线； 2.两只钉，理 由同上题；3.过一点A可画无数条直线，只要在点A外再取一点， 这样的两点所确定的直线都是，过A,B两点只能画一条直线； 4.可画6条；5.两点只能确定一条直线习题133.缩小的线段长为4.6cm,3.4cm; 4,6条，即AB, AC,AD,BC,BD CD;5.(1)AB,(2)AB,BC,(3)AB, CD,(4)AD,(5)AB,BD AC,CD:6.(1)MB,(2)MB, (3)AB,(4)AM或MB;7.7.5cm; 8.2h 9.如图； b —2b g=24+2b y=3a-2b, (习题13第9题) 11.N=号4AC=00. ·305, ==========第312页========== 习题141.圆M和圆N是等圆，它]有两个交点A和B,如图； 3,如图，(1)能画一条直径AB,(2)AC,(3)能画2条，AD和 AE;4.量出旗杆底部和花台边缘上任意三个点的距离，如果都相 等，则旗杆居中，否则不居中， 小 E （习题14第1题) (习题14第3题) 习题15 2.6点钟时，时针与分针组成平角，12点钟时组成周角； 4.∠1是∠AOB,∠2是∠C0D,∠3是∠AOC,∠4是∠AOD. 习题171.直角；2.(1)∠A0B,∠B0C,(2)∠BOC, ∠COD,(3)∠AOB,(4)∠AOB、∠COD,(5)∠A0C,(6) ∠A0B,∠B0D或∠AOC,∠COD:3.∠A0E=4∠AOB,∠AOD =∠B0E=3∠B0C,∠A0C=∠C0E=∠B0D=1∠A0: 2 7.∠1=65°，∠2=35°，∠3=80°，∠1十∠2+∠3=180°（精确到1）： 8.48°12'，25°12'；9.90°，45°，90°，135°，180°；12.∠A00 =120°，∠B0C=30°； 13.(1)124°33，(2)46°47'49'， (3)1663648',(4)20°2730；14.54°，36°：15.45°； 16.22°30'，67°30'；17.120°；18.22°30'；20.60°，120°.习题182.三点钟，九点钟； 3.书的相邻的两条边，门框的相 P B d E (习题18第4题) (习题18第9题) 。305· ==========第313页========== 邻的两条木条等； 4.如图： 5.(2)165°，(3)114°， 6.90°，垂直的； 7.135°； 8.能，不能； 9.如图，先作一条不通过点P的直线AB,再作PM1AB,过P作 PN=PM,过点N作CD⊥PN,则AB和CD就与已知点P的距离 相等.这类直线可以画出很多 习题1.9.1.∠B00=∠D00,∠A0C=∠00，∠A0D= ∠E0B;4.55°730"；5.26°；6.135°；7.∠2=70°， ∠3=14°，∠4=96°，∠6=14°；8.是：9.等角的补角相等； 10.∠1.和∠3，∠2和∠4，∠5和∠7，∠6和∠8是对顶角，又∠1=110°，∠3=110°，∠4=70°，∠6=74°，∠7=106°，∠8=74°； 11.67°30'. 习题1111.（1)同位角相等，(2)∠1=∠5或∠3=∠7，(3)内错角相等，(4)同旁内角的和等于180°，(5)∠1=∠5或∠4=∠8， (6)∠9+∠10=180°；.2.AB∥CD,因为内错角相等；3.'AM ∥ND,因为内错角∠DNM=∠AMN;10.一条 习题1121.同位角有∠1=∠4，∠3=∠7，内错角有∠1=∠9，∠3=∠10，同旁内角有∠1+∠8=2d,∠3+∠11=2d;3.65°； 4.其余三个角都是90°； 8.AB∥CD,AD∥BC,∠C=60°； 9.同位角相等： 11.∠A=47°，∠B=50°，∠ACB=83°； 12.70°； 13.110°，70°； 14.∠4=55°，∠5=125°； 15.∠1+∠2+∠3=180°： 16.不对，这两直线不一定是平行。 习题1131.65°，115°；2.不对；4.25°，155°. 复习题一 1.圆是射线上一点绕着它的端点旋转一周所画出的线，是首尾相接的线，没有端点.圆弧是圆的部分，它有两个端点；2.共同点：它们都与圆有两个公共点，区别：割线是直线，弦是线段，直径是过圆心的线段；3.直角，因为180°的一半是90°；4.是的，因为钝角比直角大，而锐角比直角小；5.小于一平角，因为两个比直角小的角之和一定小于180°；6.锐角，因为它们的和等于90'；7.不一定，只有当两直线平行时内错角才会相等；8。两直线平行，第三条 ·307.· ==========第314页========== 直线分别与它们垂直； 10.重合，相交和平行； 12.剪刀、卡钳 和比例规等；15.南偏东48°；16,∠D=135°，∠G=90； 23,∠D8H=5&. 第二章 习题2·11.有8个三角形，即△A0B,△B0C,△C0D,△D0A, △ABC,△AD0,△ABD,△CBD:2、(1)因为5+12>13，能 (2)因为3+8<12，不能，(3)能，(4)和(5)都不能；3.(1)能， (2),(3),(4)都不能；4.一腰大于底边的~半；5.腰长0.3m; 7.8cm,12cm,16cm;,8.腰=12mm,底=8mm. 习题221.4730'；2.∠A=49°，∠B=25°18'，∠C=105°42； 3.65°，60°，45°；4.∠1=∠2=45°，AE∥BC; 5.不能， 能；6.直角三角形；7.锐角三角形； 10.∠4=20°； 11.∠C=67;12.3个，1个，1个. 习题234.两条直角边就是高，只要画斜边上的高，三条高相交于直角的顶点；5,三线合一；6.10cm或6cm; 7.135; 用哥2 习题25 1.建筑物的图样如天安门和人民大会堂，人脸的正面照 相，乒乓板等等； 2.和它相同的图形；7.如图； (1) (2) (3) 0 0 (习题25第7题) 8。有3条，在每一个内角的平分线上； 9.39°； 10.60: 12.(1)30°，(2)1730'，(3)40； ·308· ==========第315页========== 13.45;15.不能，如果底角是直角或钝角，则底角之和就已等于或大于180； 18,等腰三角形底的中线必垂直其底 习题2.76.DE=1.85m,D0=3.7m,CB=3.7m 9.20cm; 11.5cm;12.8cm, 习题29 1.两个能够完全重合的三角形是全等三角形，它们的对 应角和对应边相等； 习题2.121.w>c>b;2.∠A>∠C>∠B,3.(1)腰<底，(2)腰>底； 5,对钝角的边最大， 习题2132，目标P离C岛较近. 复习题二 2.∠=153°； 4.∠BFC=∠C+∠D=30°+40°=70°， 又∠ABC=70°，∴.BA∥DE;6.AC=10cm7.12.5cm;10、等腰直角三角形；·11.150°；14.三个外角度数之比顺次为5：4：3； 16.90°； 22有两解：(1)70°，70°，40°， (2)70°，55°，55°. 第三 习题311.五个顶点，五个内角和五条对角线： 3.四边形 没有稳定性，连结一条对角线成为两个三角形时形状就能固定； 4.()4号cm6是cm,8号cm,11是cm(☒)24mm,16amm 12mm. 习题321.(1)900°，(2)1260°，(3)1440： 2.八边形； 3。六边形： 4.(1)108°，(2)72°； 5.16边形； 6。(1)97.5°，97.5°，97.5°，67.5°，（2)7738,8250,9623，103°9'： 7.(1)增加180°，(2)增加360°，(3)增加540°， (4)增加1440°，外角和不变；8.180°。 ·309· ==========第316页========== 习题331.17.5cm,12.5cm; 2.102°40,77°20'： 7.（1)和(2)都不能，(3)能；8.144°，36°；.12.3种. 习题341.因为AC∥BD,AC=BD. 习题365、27°30,62°30'：6.(1)没有，(2)有，对称中心； 7.15cm,10cm. 习题3.813.3.5cm. 习题3·104.PM5cm, (2)1cm